高考PPT [平面解析几何]

2017年福建省六市高考数学一模试卷分类（文科·平面解析几何）21．（12分）（2017•厦门一模）已知椭圆Γ：+y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线MN'过定点，并求该定点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，∵，圆心E到AB的距离为1，∴，∴，代入椭圆方程得，解得a2=4，∴．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，消去y得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．当直线MN斜率不存在时，直线MN′的方程为x=0，显然过点（0，﹣2）．直线MN'过定点（0，﹣2）（2017•莆田一模）已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．解：（1）由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则•＞0，即x1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，综上可知：＜k2＜4，解得：＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．（2017•宁德一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点为A，下顶点为B，点P（，0）满足|PA|=|PB|．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于M，N两点，以MN为直径的圆过原点，且线段MN的垂直平分线过点P，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，由|PA|=a﹣，|PB|=，|PA|=|PB|．即a﹣=，解得：a=2，b=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设直线l的方程设为y=kx+t，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立，消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，则有x1+x2=，x1x2=，由△＞0，可得4k2+1＞t2，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=k2•+kt•+t2=，因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以•=0，即为x1x2+y1y2=0，即为+=0，可得5t2=4+4k2，①由4k2+1＞t2，可得t＞或t＜﹣，又设AB的中点为D（m，n），则m==，n==，因为直线PD与直线l垂直，所以kPD=﹣==，可整理得：t=﹣②解得：k2=，k2=，当k=时，t=﹣1，当k=﹣，t=1，当k=，t=﹣，当k=﹣，t=，满足△＞0，所以直线l的方程为y=x﹣1，y=﹣x+1，y=x﹣，y=﹣x+．（2017•南平一模）在直角坐标系xOy中，设抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线l，点A、B在直线l上，点M为抛物线E第一象限上的点，△ABM是边长为的等边三角形，直线MF的倾斜角为60°．（1）求抛物线E的方程；（2）如图，直线m过点F交抛物线E于C、D两点，Q（2，0），直线CQ、DQ分别交抛物线E于G、H两点，设直线CD、GH的斜率分别为k1、k2，求的值．解：（I）∵△ABM是边长为的等边三角形，∴|AB|=|AM|=|BMF|=4，如图1，作MM′⊥l于点M′，FN⊥MM′于点N…（1分）由抛物线的定义知|MF|=|MM′|=4，∵直线MF的倾斜角为60°，∴∠MFx=∠FMM′=600所以|MN|=|MM′|﹣||NM′|=2，所以p=|MN|=2…（3分）所以抛物线E的方程y2=4x…（4分）（II）设直线CD的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2）…（5分）联立⇒y2﹣4my﹣4=0△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，{y1y2=﹣4…（6分）因为点C在抛物线E：y2=4x上，所以点C的坐标，所以kCQ=，…（7分）所以直线CQ的方程为：y﹣0=，即x=，…（8分）联立把x=代入y2=4x，解得G（）同理可得，H（），…（10分）所以，…（11分）所以…（12分）（2017•龙岩一模）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为．（1）求椭圆M的方程；（2）若圆N：x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P、Q两点，OP与OQ能否垂直？若能垂直，请求出相应的r的值，若不能垂直，请说明理由．解：（1）依题意椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为．得c=，e==，可得a=2，则b=1，∴椭圆的方程为…（4分）（2）设直线l的方程为：y=kx+m，∵直线l与圆：x2+y2=1相切，∴=r，即m2=r2（k2+1）…①…（6分）由可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=64k2﹣16m2+16＞0所以m2＜4k2+1可得r2＜4令P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，…（8分）若OP与OQ能垂直，则=x1x2+y1y2=0，…（9分）∴，（1+k2）++m2=0，…（整理得5m2﹣4（k2+1）=0，…（11分）把①代入得（k2+1）（5r2﹣4）=0，∴r=，满足r2＜4OP与OQ能垂直．…（12分）（2017•福州一模）已知圆O：x2+y2=4，点A（﹣，0），B（，0），以线段AP为直径的圆C1内切于圆O，记点P的轨迹为C2．（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C2的方程；（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（﹣2，0），直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．（1）证明：设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|=|OF|=2，故|BP|+|AP|=2（|OE|+|EF|）=4．所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则动点P的轨迹方程是=1（2）解：设直线DM的方程为x=my﹣2（m≠0），∵MN为圆O的直径，∴∠MDN=90°，∴直线DN的方程为x=﹣y﹣2，由得（1+m2）y2﹣4my=0，∴yM=，由得（4+m2）y2﹣4my=0，∴yS=，∴=，∴=，∴=•=•，设s=1+m2，s＞1，0＜＜3，∴=（4﹣）（1+）∈（4，）．