常微分方程_

第一节：常微分方程的基本概念第二节：一阶微分方程第三节：一阶微分方程的应用第四节：二阶梯微分方程的应用2020/3/162一、微分方程第七章微分方程第一节微分方程的基本概念二、微分方程的解2020/3/163定义1凡含有未知函数导数(或微分)的方程，一、微分方程称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.(1)y=kx,k为常数；例如，下列方程都是微分方程(其中y,v,q均为未知函数).(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；2020/3/164微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，通常，n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,,y(n))=0，其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,,y(n))是已知函数，而且一定含有y(n).;112yay(4)).,(0sindd22为常数lglgtqq(5)方程(4)-(5)为二阶微分方程.2020/3/165定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.二、微分方程的解若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.例如方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C中，得C=0，那么y=x2就是方程y=2x的特解.2020/3/166二阶微分方程的初始条件是,||0000yyyyxxxx及即y(x0)=y0与y(x0)=y0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解.用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件..)(,|0000yxyyyxx即通常一阶微分方程的初始条件是2020/3/167例1验证函数y=3e–x–xe–x是方程y+2y+y=0的解.解求y=3e–x–xe–x的导数，y=-4e–x+xe-x,y=5e–x-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，(5e–x-xe-x)+2(-4e–x+xe-x)+3e–x–xe–x=0，即函数y=3e–x–xe–x满足原方程，得有所以该函数是所给二阶微分方程的解.2020/3/168得C=2，故所求特解为y=2x2.例2验证方程的通解xyy2为y=Cx2(C为任意常数)，并求满足初始条件y|x=1=2的特解.解由y=Cx2得y=2Cx,将y及y代入原方程的左、右两边，左边有y=2Cx，,22Cxxy而右边所以函数y=Cx2满足原方程.又因为该函数含有一个任意常数，所以y=Cx2是一阶微分方程.2的通解xyy将初始条件y|x=1=2代入通解，2020/3/169例3设一个物体从A点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍.求物体运动规律(或称运动方程)解首先建立坐标系：取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)，并设物体在时刻t到达M点，其坐标为s(t).显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，s(t)的导数s(t)就是物体运动的速度v(t).由题意，知v(t)=2t，以及s(0)=0.①②ASOMs(t)2020/3/1610因为v(t)=s(t)，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题,0|,2)(0tstts积分后，得通解s(t)=t2+C.故初值问题的解为s(t)=t2，也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件②代入通解中，得C=0，2020/3/1611例4已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题所给出的条件，y=y2，即,1dd2yyx积分得.1Cyx又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得.23C所以，求此曲线的方程为.123yx得2020/3/1612一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数y=y(x)，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线.这就是微分方程的通解与特解的几何意义.2020/3/1613一、可分离变量方程第七章微分方程第二节一阶微分方程二、一阶线性微分方程2020/3/1614一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.2020/3/1615一、可分离变量方程例如：形如y=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量方程.(1)分离变量将方程整理为xxfyygd)(d)(1使方程各边都只含有一个变量.的形式，2020/3/1616(2)两边积分两边同时积分，得,d)(1yyg左边.d)(xxf右边故方程通解为.d)(d)(1Cxxfyyg我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.2020/3/1617例1求方程.1)cos(sin2的通解yxxy解分离变量，得,d)cos(sin1d2xxxyy两边积分，得,)sin(cosarcsinCxxy这就是所求方程的通解．2020/3/1618例2求方程.的通解xyy解分离变量，得,d1dxxyy两边积分，得,1e||1xyC,1ln||ln1Cxy化简得.0,1,e2221CxCyCC则令,1e1xyC2020/3/1619另外，y=0也是方程的解，因此C2为任意常数．xCy2所以.xCy求解过程可简化为：,ddxxyy两边积分得,ln1lnlnCxy即通解为,lnlnxCy,xCy其中C为任意常数.中的C2可以为0，这样，方程的通解是分离变量得2020/3/1620例3求方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始条件y(0)=2的特解.解将方程整理为.d)1(d)1(2xyyxy分离变量，得,1dd12xxyyy两边积分，有.ln21)1ln()1ln(212Cxy2020/3/1621化简，得,)1(122xCy即1)1(22xCy将初始条件y(0)=2代入，.1)1(322xy为所求之通解.得C=3.故所求特解为2020/3/1622例4.)(dd)均是正的常数与其中(的通解求方程akaykyxy解分离变量得,d)(dxkayyy即.dd)11(xkayyay2020/3/1623两边积分，得.lnlnCkaxyay经整理，得方程的通解为,e1kaxCay也可写为.e1kaxCay2020/3/1624二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式)()(xQyxPy称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含y或y，且均为y或y的一次项.①它的特点是：右边是已知函数，2020/3/1625称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，0，则称方程①为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常方程②称为方程①所对应的线性齐次方程.,0)(yxPy②若Q(x)若Q(x)0，则方程成为2020/3/16261.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程0)(yxPy是可分离变量方程.,d)(dxxPyy两边积分，得,lnd)(lnCxxPy所以，方程的通解公式为.ed)(xxPCy分离变量，得2020/3/1627例6求方程y+(sinx)y=0的通解.解所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，,cosdsind)(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解为.ecosxCy则2020/3/1628例7求方程(y-2xy)dx+x2dy=0满足初始条件y|x=1=e的特解.解将所给方程化为如下形式：,021dd2yxxxy这是一个线性齐次方程，,21)(2xxxP且则,1lnd12d)(22xxxxxxxP由通解公式得该方程的通解,e12xCxy将初始条件y(1)=e代入通解，.e12xxy得C=1.故所求特解为2020/3/16292.一阶线性非齐次方程的解法设y=C(x)y1是非齐次方程的解，将y=C(x)y1(其中y1是齐次方程y+P(x)y=0的解)及其导数y=C(x)y1+C(x)y1代入方程).()(xQyxPy则有),()()()()(111xQyxCxPyxCyxC即),())()(()(111xQyxPyxCyxC2020/3/1630因y1是对应的线性齐次方程的解，因此有,0)(11yxPy故),()(1xQyxC其中y1与Q(x)均为已知函数，,d)()(1CxyxQxC代入y=C(x)y1中，得.d)(111xyxQyCyy容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程),()(xQyxPy所以可以通过积分求得2020/3/1631且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程)()(xQyxPy的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为,ed)(1xxPy于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：.de)(ed)(d)(xxQCyxxPxxP上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.2020/3/1632例8求方程2y-y=ex的通解.解法一使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为,e2xCy将y及y代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为,e)(2xxCy,e21e)(2xxxC2020/3/1633于是，有,ede21)(22CxxCxx因此，原方程的通解为.eee)(22xxxCxCy解法二运用通解公式求解．将所给的方程改写成下列形式：,e2121xyy,e21)(,21)(xxQxP则2020/3/1634则,2d21d)(xxxxP,edee21de)(22d)(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解为.eee)e(222xxxxCCy,ee2d)(xxxP2020/3/1635例9求解初值问题．.1)(,cosyxyyx解使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：,cos11xxyxy则与其对应的线性齐次方程01yxy的通解为.xCy2020/3/1636设所给线性非齐次方程的通解为.1)(xxCy于是，有.sindcos)(CxxxxC将y及y代入该方程，得,cos11)(xxxxC2020/3/1637因此，原方程的通解为.sin11)(sinxxxCxCxy将初始条件y()=1代入，得C=，).sin(1xxy所以，所求的特解，即初值问题的解为2020/3/1638例10求方程y2dx+(x-2xy-y2)dy=0的通解.解将原方程改写为,121dd2xyyyx这是一个关于未知函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程，,21)(2yyyP其中它的自由项Q(y)=1.2020/3/1639代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有yCxyyyyyydeed