弹性力学习题(新)讲解

1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。2-1已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解：1、相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续性条件。2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为3、平衡微分方程其中若满足平衡微分方程，必须有分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。例2-2如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为ρ），顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件。解：根据在边界上应力与面力的关系左侧面：右侧面：上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件。上端面额面力向截面形心O简化，得到面力的主矢量和主矩分别为y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力主矩的转向相反。所以下端面的面力向截面形心D简化，得到主矢量和主矩为y=l坐标面，应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。所以分析：1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入或。2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化。应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号。2-8试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。解：图（a）图（b）1、对于图（a）的问题在主要边界上，应精确满足下列边界条件：在小边界（次要边界）上，能精确满足下列边界条件：在小边界（次要边界）上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，2、对于图（b）所示问题在主要边界上，应精确满足下列边界条件：在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，在小边界（次要边界）上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2-17所示，体力可以不计。根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解：1、矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为，横截面对z轴(中性轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为,剪应力；并取挤压应力。2、经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件：能满足。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答。例3-1如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数求简支梁的应力分量（体力不计）。解：1、相容条件：代入应力函数，得：由此得于是应力函数可改写为2、应力分量表达式3、考察边界条件：确定应力分量中的各系数联立求解以上各式，得再根据简支梁的端面条件确定常数D,F。由圣维南原理得可得再带入式（f）得4、应力分量表达式例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设(a)式中的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得(b)式中的，为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程，得上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即，积分上二式，得式中为待定的积分常数。将，代入式（b），得应力函数为.(c)(2)应力分量的表达式(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件,自然满足；,得;上式对x的任何值均应满足，因此得，，即，得X取任何值均应满足，因此得.将式（e）代入上式积分，得计算得,其中,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为3-3试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。解（1）相容条件：将代入相容方程,显然满足。（2）应力分量表达式(3)边界条件：在主要边界上，应精确定满足应力边界条件在次要边界x=o,x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件(a)(b)(c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,hb,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数求解应力分量。b/2b/2hqqy(hb)题3-6图xo解：（1）相容条件将应力函数代入相容方程，其中，，。很显然满足相容方程。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即在次要边界y=0上，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替.(4)把各应力分量代入边界条件，得应力分量为3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，lh如题3-7图所示，试用应力函数求解应力分量。xlyMOh/2h/2(lh,FsFs解（1）相容条件将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式(3)考察边界条件，在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件得(a)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得(b)由式（a）(b)解出最后一个次要边界条件（x=l上）,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得3-9设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用教材§3-4中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。yqxholqllql解（1）应力函数为(2)应力分量的表达式这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当的常数A,B,…，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式（b）,(c),(d)就是正确的解答。（3）考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样是是x的偶函数，而是x的奇函数，于是由式（b）和（d）可见（4）考察边界条件：在主要边界上，应精确满足应力边界条件将应力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有，可见这些边界条件要求联立求解得到将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d），得考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值，都有。由式（f）可见，这是不可能满足的，除非是均为零。因此，用多项式求解，只能要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，也就是要求将式（f）代入式（i）,得积分以后得将式（f）代入式（j），得积分以后得将K，H的值代入式（f）,得另一方面，梁右边的切应力应当合成为反力积分以后，可见这一条件是满足的。将式（g）,(h),(k)略加整理，得应力分量的最后解答注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是，静矩是。根据材料力学应用截面法求横截面的内力，可求得梁任意截面上的弯矩方程和剪力方程分别为。式（l）可以写成3-10如题3-10图所示的悬臂梁，长度为l，高度为h,lh,在上边界受均布荷载q，试检验应力函数能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。解（1）相容条件将代入相容方程，得，若满足相容方程，有(2)应力分量表达式(3)考察边界条件;主要边界上，应精确满足应力边界条件在次要边界上x=0上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替(e)联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得将各系数代入应力分量表达式，得3-12为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。3-15试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。例4-2如图所示楔形体右侧面受均布荷载q作用，试求应力分量。【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、ρ、，其中q的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而K是以，表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不能出现ρ，再由22知，应力函数应是的函数乘以2，可设)(2f（a）将式（a）代入双调和方程011222222，得0)(4)(12442dfddfd，dfddfd)(4)(244=0，上式的通解为DCBAf2sin2cos)(，将上式代入式（a），得应力函数为)2sin2cos(2DCBA。（b）(2)应力表达式为C。BA，DCBA，DCBA