专题四：二次函数的图像与性质

1专题四二次函数的图像与性质（一）【知识梳理】1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______，b________时，是一次函数．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．3．抛物线的开口方向由a确定，当a0时，开口_______；当a0时，开口_______；越大，开口越_______．4．抛物线与y轴的交点坐标为_______．当c0时，与y轴的_______半轴有交点；当c0时，与y轴的_______半轴有交点；当c＝0时，抛物线过________．5．若a_______0，当x＝2ba时，y有最小值，为_______；若a_______0，当x＝2ba时，y有最大值，为_______．6．当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______；当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧．y随x的增大而_______．7．当m0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝a（x＋m)2的图象；当k0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图象．平移的口诀：左“＋”右“－”；上“＋”下“－”．【考点例析】考点一二次函数的有关概念例1已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为()A．(－2，－1)B．(2，1)C．(2，－1)D（－2，1）考点二抛物线的平移例2将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－3考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例3在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()2考点四利用二次函数的增减性比较坐标大小例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1y2y3B．y1y3y2C．y3y2y1D．y2y1y3【反馈练习】1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是()A．直线y＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝22．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1x21，则y1_______y2．3二次函数的图像与性质（二）1．二次函数解析式的求法：(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)．(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．3．当b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．5．当b2－4ac－0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．【考点例析】考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc0；②b2－4ac0；③4a－2＋c0；④b＝－2a，其中结论正确的是()A．①③B．③④C．②③D．①④考点二求二次函数的解析式例2(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．①y随x变化的部分数值规律如下表：4②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．考点三利用图象求一元二次方程的解例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为()A．－3B．3C．－6D．9考点四二次函数图象与坐标轴的交点个数例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是()A．3B．2C．1D．0考点五二次函数图象与不等式的关系例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c0的解集是()A．－1x5B．x5C．x－1且x5D．x－1或x55【反馈练习】1．已知抛物线y＝x3－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值为()A．2009B．2012C．2011D．20102．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－12，下列结论中，正确的是()A．abc0B．a＋b＝0C．2b＋c0D．4a＋c2b4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______．5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围．6课后练习1.（2017四川省攀枝花市）二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（）A．a＞b＞cB．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）D．3b+2c＞02．（2017四川省阿坝州）如图，抛物线2yaxbxc（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程20axbxc的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3.（2017贵州省黔南州）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；7②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（12，﹣2）；⑤当x＜12时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4.（2017辽宁省盘锦市）如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣43≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程2axbxcn有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5.（2017四川省资阳市）如图，抛物线2yaxbxc（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②13a，③a=-k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．186.（2017四川省广元市）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有．7.（2017山东省莱芜市）二次函数2yaxbxc（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣13c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣273．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）8.（2017贵州省黔西南州）如图，图中二次函数解析式为2yaxbxc（a≠0）则下列命题中正确的有（填序号）①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．9.（2017辽宁省锦州市）如图，二次函数2yaxbxc的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程21axbxc有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．