由三角形面积平分想到的——过平面上一点平分三角形面积方法探究

OBCADPEBCAP图(3)由三角形面积平分想到的------过平面上一点平分三角形面积方法探究陈易陈若琳相信我们对平面几何中的面积平分并不陌生，生活中也有很多类似的应用。比如要用一条直线平分一个三角形的面积，这其中也蕴涵了许多数学知识。我们的发现就是从中延伸开来的。首先，我们从一道分地题谈起。问题1:如图(1)是一片可近似看作三角形的土地，P是BC边上的一根木桩。现要在另外两边上找一点插上另一根木桩，使得两木桩所在的直线能将这块地分成面积相等的2份，如何确定这条分界线呢？图(1)三角形面积的平分使我们想到了中点，若在BC上取中点D，则中线AD将ΔABC面积平分，可现在P不是中点。假设存在一点E，显然E在AC上（假设点P在BD之间），为了使SΔCEP=21SΔABC,只需SΔAOE=SΔPOD即可，即SΔAPD=SΔAPE，要解决这一问题，只需AP∥ED。于是，我们总结出方法如下(见图2)：1.取BC中点D，连接AD。2.连接AP，过点D作AP平行线交AC于点E3.连接PE，则PE就是所作的平分线。上题中,PC,CE,BC,AC始终满足关系式CP·EC﹦AC·DC﹦21AC·BC图（2）问题2:倘若已知点位于三角形内部,如何过这一点作一条直线平分三角形的面积呢?为了继续研究这个问题，我们做了如下图形:如图(3)，ΔABC中，P为三角形内任意一点，求作过点P的直线能平分ΔABC的面积。我们先假设存在一条过P的直线HM平分ΔABC的面积(如图4)，取AC中点D则由上题可知只需HC·MC﹦21AC·BC﹦CD·BCM'H'ABCPDBCAP由图可知直接得到上述结论确实十分困难，便想到可用转换的思想寻找突破口,即寻找另外两条线段的乘积进行转换。由BC与CD的乘积以及点P在三角形的内部，又因为有一个顶点C，所以我们想到了连接PC、PD，紧接着试着做了个与ΔDCP相似的ΔECB(图5)则DC·BC=CE·PC所以接下来的任务只需说明CE·PC﹦CH·CM即CHCE﹦PCCM成立由于前面已经有∠DCP﹦∠ECB所以只要ΔHCP∽ΔECM成立则一切就成立为了证明相似成立，只要说明∠HPC﹦∠EMC即可由于∠HPC﹦∠PMC+∠PCM所以只要∠EMH﹦∠PCM即可由∠DCP﹦∠ECB可知∠DCE﹦∠PCM所以接下来的任务就是使∠EMH﹦∠DCE如何使这两个角相等呢？回顾以往知识，使角相等的方法有平行线，同弧所对的圆周角等。于是过P作AC的平行线交CE的延长线于Q..(如图6)所以∠EQP=∠DCE只需∠EQP=∠EMH即可因而我们想到同弧所对的圆周角相等，只需Q，E，P，M四点共圆，所以作ΔQEP的外接圆交BC于M,连接MP并延长交AC于H，则HM为所求直线。将以上思路进行梳理，我们得出作法如下(如图7)：1、取AC中点D，连接PD，PC2、作ΔBEC∽ΔPDC3、过P作AC的平行线交CE延长线于Q4、作ΔQEP的外接圆交BC于M5、连接MP延长交AC于H.则HM为所求直线BM'H'D'ACE'PTDH'ACE'PQM'QH'E'P'D'A'C'图(5)图(6)图(7)BCAPBCAPNDHPBCADEMQMBCAPEDQ正当我们以为大功告成时，大家在尝试中却遇到了另一个问题，就是在有些情况下MP的连线往往无法与AC相交（如图8）或圆无法与BC相交，这样的话，那么之前所做的一切都会被推翻。那么，这是否就意味着之前的做法就是失败的？我们不甘心，便继续做着尝试，很快我们发现直线MP有时的确是不能和AC相交，但这是取决于你所取的中点的位置。在多次实验中我们发现，取不同边的中点，那么与圆相交的边也不同，结果也不同。但可以确定的是，三条边的三个中点中，肯定有一个中点是能够作出如上的图形的。然而，我们在解决了上述问题后，又遭遇了一个漏洞，倘若P点在三角形三条角平分线的交点（如右图9），即内心，那该怎么办呢？这种情况下，过P作AC的平行线与CE交点便是P，无法作出Q点，我们小组针对该问题展开了讨论。如图，若P点为内心，假设存在MQ为平分线(如图9)，我们所要证明的是ΔCEM∽ΔCQP即可。已知∠ECM﹦∠QCP，只要满足∠MEC﹦∠CQM，换言之，只要满足E，M，Q，C四点在同一个圆内，问题就解决了，但由于时间仓促以及我们能力的有限，我们暂时还无法想出操作的方法。我们可以确定的是P点为三角形的内心时这样的平分线存在，但我们无法作出这条线。在解决了P在三角形内的情况后，我们很快便将目光注意到了P在三角形外的这一种情形：问题3:如图(10)，P是ΔABC外的一点，求作过P的一条直线平分ΔABC的面积。从上题受到启发，我们同样是假设过P的直线MQ平分三角形面积，取AC中点D(如图11)则CQ·CM﹦21AC·BC﹦CD·BC我们再次联系到相同的相似，连接PC、PD，作ΔNBC∽ΔDPC(如图12)CD·BC﹦NC·CP可推知CQ·CM﹦NC·CP又∠NCM﹦∠DCP所以只要ΔNMC∽QPC即可如法炮制，我们抱着试试看的心态过P作了AC平行线交NC延长线于H(如图11)，交BC于T。作ΔNPH的外接圆交BC于M，PM延长线交AC于Q(如图12)图(8)图(9)图(10)图(11)THNQMPDCBA可知∠QPT﹦∠MNC(圆内接四边形的性质)又∠CQP﹦∠QPT∠CQP﹦∠CNMΔCQP∽ΔCNMQC·CM﹦CP·CN﹦CQ·CB﹦21AC·BCSΔQCM﹦21SΔABC∴QM就是所求作直线.当然，类似的，这种情况也存在作出的直线与AC不相交的情况，对此，我们的解决方案也和上题一样，采用换一条边取中点的方法便能很好解决问题。我们又忽然想到，既然D为AC中点可以作出一个三角形面积为原三角形的一半，是不是可以当DCAC=1n，SΔQCM=1nSΔABC。相应的，做法如下：1、取AC一点D，使得DCAC=1n，连接PD，PC2、作ΔBEC∽ΔPDC3、过P作AC的平行线交CE延长线于Q4、作ΔQEP的外接圆交BC于M5、连接MP延长交AC于H，则HM为所求直线（类似的问题解决方案与上一样，不再赘述）由此我们得出结论：对于平面上任意一点P，可以作出一条直线平分三角形面积，或分出一个面积为原图形1n的三角形。并且除了内心这个特殊点以外，其他直线都是可以利用上面的方法进行操作的。经过对三角形面积平分这一问题的探究，我们发现生活中许多问题都是相互联系的，只要平时多思考,其实许多看似疑难的问题都能迎刃而解了。图(12)图(12)