2019届湖北省武汉市高三高考模拟数学(理)试题(解析版)

第1页共18页2019届湖北省武汉市高三高考模拟数学（理）试题一、单选题1．设复数z满足，则z=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得1+2z＝i﹣iz，∴z．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本运算，是基础题．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解一元二次不等式求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜0}；∴A∩B＝（﹣1，0）．故选：B．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3．等比数列中，，，则数列前3项和（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用等比数列通项公式求出公比为-4，由此利用等比数列前n项和公式，即可求出前3项和，得到答案．【详解】由题意，等比数列{an}中，，∴，解得，第2页共18页∴数列{an}前3项和．故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力，是基础题．4．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：——结伴步行，——自行乘车，——家人接送，——其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（）A．30B．40C．42D．48【答案】A【解析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．故选：A．【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．5．为了得到函数的图像，可以将的图像（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】第3页共18页解：将sin（2x）的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2x的图象，故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．6．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断，即可得到答案．【详解】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．7．已知且，函数，在上单调递增，那么实数的取值第4页共18页范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：a＞0且a≠1，函数在R上单调递增，可得：，解得a∈（1，2]．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．8．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则()A．B．C．D．【答案】D第5页共18页【解析】设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为，，利用韦达定理可表示出的值，根据P点坐标求得＝8进而求得k，则直线AB的方程可得；利用弦长公式求得|AB|．【详解】解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0设此方程两实根为，，则又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k＝1当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10|AB|||•4．故选：D．【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．10．已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（）A．．B．C．D．【答案】B【解析】由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的定义，化简计算可得所求值．【详解】解：是两个相互垂直的单位向量，可得•0，||＝||＝1，因为是相互垂直的，所以得与，的夹角α，β的和或差为90°，由，，可得||cosα，||cosβ＝1，由cos2α+cos2β＝1，可得||2＝4，则2＝||2+||2+2•1+4+2＝7，第6页共18页即．故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及垂直的性质和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．11．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．【详解】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为：p．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知|f（x）|的最大值为M，得到|f（-1）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M，利用三角不等式得到所求．【详解】解：因为函数定义域为，记的最大值为，所以|f（）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M，第7页共18页即,,,所以.所以，即M的最小值为：2；故选：C．【点睛】本题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值，属于中档题．二、填空题13．已知实数、满足约束条件，则目标函数的最小值为_______．【答案】【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝y﹣x与直线x﹣y﹣1＝0重合时，z取得最小值；由解得C（﹣5，﹣6），由，解A（1，0），目标函数z＝y﹣x经过为可行域的A时，取得最小值：﹣1．故目标函数z＝y﹣x的最小值是﹣1，故答案为：﹣1【点睛】第8页共18页本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合思想，属于中等题．14．已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．【答案】2x+y-2=0【解析】设直线AB的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得的值，进而得到直线的方程．【详解】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，∴，解得，∴直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0．故答案为：2x+y-2=0．【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．15．已知数列前项和满足，则______．【答案】【解析】由已知数列递推式可得，得到（n≥2），结合即可求得a4的值．【详解】解：由，得：，∴（n≥2），由，a1＝﹣1，得a2＝﹣1，∴，．故答案为：11．【点睛】本题考查数列递推式，考查数列中项的求法，考查转化能力与计算能力，是基础题．16．在四面体中，若，，，底面是边长为的正三角形，为的中心，则的余弦值为______．第9页共18页【答案】【解析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P点坐标，借助向量夹角公式得到结果.【详解】,设∵∴,故答案为：【点睛】本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题17．在中，，，的对边分别为，，，若，，.（1）求；（2）已知在边上，且，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用二倍角的正弦第10页共18页函数公式可求sinB的值，由正弦定理可得a的值．（2）利用二倍角的余弦函数公式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用三角形的面积公式可求S△ABC，由，可求S△CMAS△ABC的值．【详解】解：（1）由知，，由正弦定理可知，（2），，三角形的面积，而.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CB⊥PD；（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．第11页共18页【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC，利用勾股定理证明，从而BC⊥平面PBD，于是BC⊥PD；（2）建立空间坐标系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【详解】解：（1）连，交于点，连由平面，平面.又又又，又（2）由（1）知，以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，则轴.由平面几何知识易得，则于是，设平面的法向量为.则，即，取，则，则第12页共18页同理可求得平面的一个向量于是分析知二角面的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆经过点，且右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆与，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)列方程组求解出，即可；(2)对k讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t的恒成立方程进行求解．【详解】解：（1）有