第七章 多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox、Oy、Oz组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：21221221221zzyyxxMMd平面方程：0AxByCzD+++=二次曲面方程：2220AxByCzDxyEyzFzxGxHyIzK+++++++++=球面方程：2202020Rzzyyxx圆柱面方程：222Ryx椭球面方程：()2222221,,0xyzabcabc++=，椭圆抛物面方程：2222,(,0)xyzabab+=双曲抛物面方程：2222,(,0)xyzabab-=单叶双曲面图方程：1222222czbyax(a，b，c＞0)双叶双曲面方程：2222221,(,,0)xyzabcabc+-=-椭圆锥面方程：2222220,(,,0)xyzabcabc+-=2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D的每一对值(,)xy，在变域M中存在z值，按一定对应法则f进行对应，有唯一确定的值，则称f为集合D上的二元函数，记为(,)zfxy=,xy称为自变量，D称为定义域，z称为因变量。(,)xy的对应值记为(,)fxy，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)fxy在开区间（或闭区间）D内有定义，000(,)Pxy是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式220000||()()PPxxyyd=-+-的一切点(,)PxyDÎ，都有|(,)-|fxyAe成立，则称常数A为函数(,)fxy当00,xxyy时的极限，记作00lim(,)xxyyfxyA®®=多元函数的连续性：设函数(,)zfxy=在区域D内有定义，点000(,)Pxy是D的内点或边界点且0PDÎ。如果0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy®®=则称函数(,)zfxy=在点000(,)Pxy处连续。3.多元函数的偏导数与全微分偏导数：设函数(,)zfxy=在点00(,)xy的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量xD时，相应地函数有增量0000(,)(,)fxxyfxy+D-如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数(,)zfxy=在点00(,)xy处对x的偏导数，记作00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz，或),(00yxfx同理，如果极限00000(,)(,)limyfxyyfxyyD?+D-D存在，则称此极限为函数(,)zfxy=在点00(,)xy处对y的偏导数，记作00xxyyzy，00xxyyfy，00xxyyyz==，或00(,)yfxy4.二元函数(,)zfxy=在点00(,)xy的偏导数的几何意义00(,)xfxy是过曲面(,)zfxy=上点00000(,,(,))Mxyfxy的曲线0),(yyyxfz在点0M处的切线xT对x轴的斜率。5．二阶偏导数),()(22yxfxzxzxxx，),()(2yxfyxzxzyxy，),()(2yxfxyzyzxyx，),()(22yxfyzyzyyy。如果函数(,)zfxy=的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。6.全微分如果函数(,)zfxy=在点(,)fxy的全增量(,)(,)zfxxyyfxyD=+D+D-可表示为22()(()())zAxByoxyrrD=D+D+=D+D其中A、B不依赖于xD、yD而仅与x、y有关，则称函数(,)zfxy=在点(,)fxy可微分，而称AxByD+D为函数(,)zfxy=在点(,)xy的全微分，记作dz，即dddzzzxyxy抖=+抖如果函数(,)zfxy=的偏导数xz、yz在点(,)xy连续，则函数在该点可微分。7.复合函数微分法复合函数的中间变量均为一元函数的情形如果函数()utj=及()vty=都在点t可导，函数(,)zfuv=在对应点(,)uv具有连续偏导数，则复合函数((),())zfttjy=在点t可导，且有ddddddzzuzvtutvt复合函数的中间变量均为多元函数的情形如果函数u(xy)v(xy)都在点(xy)具有对x及y的偏导数函数zf(uv)在对应点(uv)具有连续偏导数则复合函数zf[(xy)，(xy)]在点(xy)的两个偏导数存在且有xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz8.全微分形式不变性无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的,这个性质叫做全微分形式不变性。9.隐函数微分法在点00(,)xy的某邻域内，若函数(,)Fxy有连续的偏导数xF¢、yF，且00(,)0Fxy=，则在),(00yxFy≠0时，方程(,)0Fxy=确定唯一的、有连续导数的函数()yfx=，满足00()yfx=及(,())0Fxfx=。这个定理称为隐函数存在定理。隐函数存在定理给出了隐函数求导的方法，即由(,)0Fxy=，两边全微分得0ddyFxFyx，由yF≠0，得到隐函数的导数为yxFFxydd。10.二元函数的极值设函数(,)zfxy=在点00(,)xy的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于00(,)xy的点(,)xy，都有00(,)(,)fxyfxy（或00(,)(,)fxyfxy）则称函数在点00(,)xy有极大值(或极小值)00(,)fxy。极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。设函数(,)zfxy=在点00(,)xy具有偏导数，且在点00(,)xy处有极值，则有00(,)0xfxy=，00(,)0yfxy=设函数(,)zfxy=在点00(,)xy的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又00(,)0xfxy=，00(,)0yfxy=，令000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC===则在点00(,)xy处是否取得极值的条件如下：(1)ACB20时具有极值，且当A0时有极大值，当A0时有极小值；(2)ACB20时没有极值；(3)ACB20时可能有极值，也可能没有极值。极值的求法：第一步解方程组(,)0xfxy=，(,)0yfxy=求得一切实数解，即可得一切驻点。第二步对于每一个驻点00(,)xy，求出二阶偏导数的值A、B和C。第三步判断ACB2的符号，按定理2的结论判定00(,)fxy是否是极值、是极大值还是极小值。11.多元函数的最大值、最小值如果(,)fxy在有界闭区域D上连续，则(,)fxy在D上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。我们假定，函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，求最大值和最小值的一般方法是将函数f(x，y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。12.条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值。一般地，考虑函数(,)zfxy=在限制条件(,)0gxy=下的极值问题，称为条件极值问题．考虑极值的函数(,)zfxy=称为目标函数，考虑的限制条件(,)0gxy=称为约束条件．没有约束条件的极值问题，称为无条件极值问题．若能从约束条件(,)0gxy=解出()yyx=，则条件极值问题可以转化为函数[,()]zfxyx=的无条件极值问题。拉格朗日乘数法要找函数(,)zfxy=在条件(,)0xyj=下的可能极值点，可以先构成辅助函数(,)(,)(,)Fxyfxyxylj=+，其中为某一常数。然后解方程组0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx。由这方程组解出x，y及，则其中(,)xy就是所要求的可能的极值点。13.最小二乘法简介变量x、y满足线性方程yaxb=+，其中，a、b需要确定．通过试验测得x、y的n组对应值：(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，建立计算值与实测值之差的平方和函数，得到niiiybaxQ12)(则Q的意义是很明显的，它等于各点离开直线yaxb=+的偏差平方和，反映了各点关于直线的偏离情况。视Q为a、b的函数，求Q的最小值，确定出线性方程的系数a、b，这就是通常所说的最小离差平方和原则，又称最小二乘法原则。根据微积分学知识，Q有极小值的必要条件是112()02()0niiiniiiiQyabxaQxyabxb这样就得到关于a和b的线性方程组12111nniiii=1nnniiiiiiinabxy,axbxxy这个方程组通常称为线性回归的正规方程。解此方程组得1122111()()1()nniiiiinniiiixyynbxxn21112211()()()()()nnniiiiiiinniiiiyxxyaybxnxx【习题解答】7-1确定下列函数的定义域，并画出定义域的图形。（1）221yxz；（2）11),(22yxyxf；（3）arcsinyzx；（4）11zxyxy。解1）221xy（2）1111xyy或（3）11yx（4）yxyx7-2计算下列函数的偏导数。（1）2sinzxy；（2）yzx；（3）xzxyy；（4）2arctan()zxy；（5）42243yyxxz；（6）yxxzln2；（7）yxz2tan；（8）lnxzy=；（9）设arctan22(,)ln()yxfxyexy，求(1,0)xf；（10）设(,)(1)arcsinxfxyxyy，求(,1)xfx。解（1）2sinzxyx2coszxyy（2）1yzyxxlnyzxxy（3）1zyxy2zxxxy（4）2211()zxxy2221()zyyxy（5）3246zxxyx2364zxyyy（6）212lnzxxyxxxy2zxyxy（7）22seczxxxyy222sec()zxxyyy（8）ln1lnxzyyxxln(ln1)xzyxy（9）令0y，(,0)2lnfxx，则(1,0)2xf（10）令1y，(,1)fxx，则(,1)1xfx7-3设yzx，验证22zzxyyx。解1yzyxx,211lnyyzxyxxxylnyzxxy,211lnyyzxyxxyx22zzxyyx7-4求下列函数的二阶偏导数。（1）ln()zxxy=；（2）42243yyxxz；（3）arctanyzx；（4）(1)yzxy。解（1）ln()ln()1zyxyxxyxxy¶=+=+¶，221zyxxyx¶==¶zxxxyxyy¶==¶，222zxyy¶=-¶211zxxyxyy¶==抖（2）23222246,126zzxxyxyxx22322264,612zzxyyxyyy212zxyxy¶=-抖（3）22222222212(),()