第七章 梁的弯曲变形

1梁的弯曲变形第七章目录2第七章弯曲变形§7-1梁的挠度及截面的转角§7-2梁的挠曲线近似微分方程§7-3用积分法求梁的变形§7-5用叠加法求梁的变形§7-8用变形比较法解简单超静定梁§7-7梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施目录目录3§7-1梁的挠度及截面的转角6-1目录4目录5目录6§7-2梁的挠曲线近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：)(xww由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：xwddtan挠曲线yxxw挠度转角挠度w：截面形心在y方向的位移w向上为正逆钟向为正6-2目录转角：截面绕中性轴转过的角度。72.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：1=zMρEI忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1目录8由数学知识可知：3222])dd(1[dd1xyxy略去高阶小量，得22dd1xy所以zEIxMxy)(dd222M(x)0M(x)0Odydx20xyM(x)0Odxdy022yxM(x)0目录9由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：zEIxMxw)(dd22由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。目录10挠曲线的近似微分方程为：zEIxMxw)(dd22积分一次得转角方程为：CxxMEIxwEIzzd)(dd)(dd22xMxwEIz再积分一次得挠度方程为：DxCxxxMwEIzdd)(6-3目录§7-3用积分法求梁的变形11积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0Aw0Aw0AAw位移边界条件光滑连续条件ARALwwARALARALww－弹簧变形目录12例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：,0AxF),(FFAy)(FlMA2）写出x截面的弯矩方程()()()MxFlxFxl3）列挠曲线近似微分方程并积分)()(dd22lxFxMxwEIClxFEIxwEI2)(21ddDCxlxFEIw3)(61积分一次再积分一次BABxyxlFBw目录用积分法求弯曲变形134）由位移边界条件确定积分常数0,0Awx0,0Ax2311,26CFlDFl代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度2211()22EIFxlFl3236121)(61FlxFllxFEIwEIFlywEIFllxBB3,2,3max2maxBABxyxlFBw目录14例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解1）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx,,02）弯矩方程axxlFbxFxMAy11110,AC段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy222222),()(CB段：目录maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB153）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(ddxlFbxMxwEI1211112)(ddCxlFbxEIxwEI1113116DxCxlFbEIwAC段：10xa)()(dd2222222axFxlFbxMxwEI2222222)(22)(dd2CaxFxlFbxEIxwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB段：lxa2目录maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB164）由边界条件确定积分常数0)(,22lwlx0)0(,011wx代入求解，得位移边界条件光滑连续条件1212,()()xxaaa)()(,2121awawaxxlFbFblCC661321021DD目录maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB175）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI12231)(661xbllFbxlFbEIwAC段：ax10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIwCB段：lxa2目录maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB186）确定最大转角和最大挠度令得0ddxmax,()6BFabxllaEIl令得0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblx目录maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB19讨论积分法求变形有什么优缺点？目录20§7-5用叠加法求梁的变形)(dd22xMEIw''xwEI设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：)(xMEIw''ii若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：iiw)(xMi由弯矩的叠加原理知：1()()niiMxMx所以11()()nniiiiEIwEIwMx6-4目录21故1()niiww由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiww1重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。目录22例3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC；B截面的转角B。1）将梁上的载荷分解321CCCC321BBBBwC1wC2wC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解目录用叠加法求弯曲变形23wC1wC2wC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和)(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB目录24例4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。Cw解目录25Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlwwiCiC384414213）将结果叠加EIqliCiC4873212）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。目录26讨论叠加法求变形有什么优缺点？目录27§7-7梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施1.梁的刚度校核][],[maxmaxww建筑钢梁的许可挠度：1000~250ll机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：500016-6目录28根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：EIFlaB3解目录例7已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。29例7已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：B344923641806420102118033206100.511110m111mmFladE目录1803EIFlaEFlaI3180EFlad3180644302.提高梁弯曲刚度的措施1）选择合理的截面形状目录312）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式目录322）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型目录%5.6212CCww333）采用超静定结构目录34§7-8用变形比较法解简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统—比较变形，列变形协调条件—由物理关系建立补充方程—联立静力平衡方程求解。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统6-5目录352a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解:例5求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBB）进行变形比较，列出变形协调条件364）由物理关系，列出补充方程EIFaaaEIaFwFB314)29(6)2()(32EIaFwByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以FFBy475）由整体平衡条件求其他约束反力)(43),(2FFFaMAyA目录2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCAMAyF37例6梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：21BBwwBBFFFBMAFAwB1FBMCFCwB2物理关系EIFEIqwBB3484341EIFEIFw'BB3424362322解38FBFBMAFAMCFCwB1wB2kN75.84842046104023342BF代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定A端约束力04,0qFFFBAykN25.7175.82044BAFqF0424,0BAAFqMMmkN12575.842204424BAFqM39FBF´BMAFAMCFCwB1wB20,0FFFFCBy确定C端约束力kN75.4875.840BCFFF()0,240CCBMFMFFkN.m11540275.8424FFMBC40MAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图)()(25.7175.875.48kNSF)(kN25.71AF)kN(75.48CF)(mkN125AM)m(kN115CM94.1)mkN(M1255.1711541目录42小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题目录43作业第180页7-2(c)、7-3(b)44作业第182页7-5(c)第183页7-10