几种特殊类型函数的不定积分

4.3几种特殊类型函数的积分第四章•基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法•初等函数求导初等函数积分（见本节第一段）一、有理函数的积分和可化为有理函数的积分二、三角函数有理式的不定积分本节内容:（IntegrationofseveralkindsofSpecialFunctions）一、有理函数和可化为有理函数的不定积分(IntegrationofRationalFunction)两个多项式的商表示的函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.有理函数的定义：假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将1123xxx.112xx化为多项式与真分式之和kaxA)(2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和其中qpaBA,,,,都是待定的常数.最简分式是下面两种形式的分式;)(kqpxxBAx2042qpk，为正整数（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是待定的常数.（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是待定的常数),,2,1(ki.为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法例4.3.1将真分式232(1)(2)xxx分解为最简分式解231213232(1)(2)1(1)(1)2AAABxxxxxxx设,通分整理后，有22332112(2)(1)(2)(1)(2)(1)xAxAxxAxxBx3211213211()(3)(33)ABxABxAAABx3211(222)AAAB比较两端同类项系数，得方程组1121321132110313302222ABABAAABAAAB解得129A,213A,31A,129B.或者在上式中应用赋值法，更简单些.令1x，得333A，31A.令2x,得1627B，129B.令0x,得32112222AAAB.(5)令1x,得32113248AAAB.(6)联立上两式,得129A，213A，于是232322112(1)(2)9(1)3(1)(1)9(2)xxxxxxx2)1(1xx,1)1(2xCxBxAAxCABxCA)2()(12.11)1(112xxx2)1(1xx补充例题1通分以后比较分子得：1020ACABCA1,1,1CBA)()(1112xCxBxxA我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的上例，两端去分母后得到:值代入特殊的x;11Bx令.11)1(112xxx2)1(1xx;10Ax令;12Cx令补充例题2.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得补充例题3求积分.2123dxxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.|1|ln11||lnCxxx解：dxxxx2321补充例题1补充例题4求积分解：.)1)(21(12dxxxdxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx补充例题2dxxxx2151522154解:原式xxxd32232)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23自主学习课本P150例4.3.3例4.3.2求注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：)1(多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx主要讨论（3）积分,1)1ndxqpxxNMx2)ln(22qpxxM;2arctanCapxab,422pqa,2MpNb其中,222atqpxx,bMtNMx并记令tpx2,42222pqpxqpxx,1)2(ndxqpxxNMxn)(2122))(1(2natnM.)(122dtatbndxqpxxNMxn)(2dtatMtn)(22dtatbn)(22仿照例4.2.24结论：有理函数的原函数都是初等函数.)4()1(22xxxxxxxId455224345)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.补充例题5求自主学习课本P151例4.3.4设表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令万能代换t的有理函数的积分二、三角函数有理式的不定积分则2cos2sin2cos2sin2sin22xxxxx这是因为2tan12tan22xxxcos2tan12tan122xx22tan2tan1tan2xxx2122tanuuxu22112tanuuxu2122tanuuxu令2tanxuuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR补充例题6求.)cos1(sinsin1dxxxx解：令,12sin2uux2211cosuux,122duudxduuuu12212dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu)ln22(212Cxxx2tanln212tan42tan2则自主学习课本P152例4.3.5.dcos1sin1xxx计算d)cos1)(cos1()cos1)(sin1(dcos1sin1xxxxxxxxxxxxxxdsincossinsincos12xxxxxxxd)sincoscscsincoscsc(22|sin|ln|cotcsc|lnsin1cotCxxxxx.sin|cos1|lnsincos12Cxxxx没有用变量代换例4.3.5解法2: