第三章-数系的扩充与复数的引入章末检测(B)

第三章数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．以上都不对2．复数1＋2i3等于()A．1＋2iB．1－2iC．－1D．33．复数1＋2i23－4i等于()A．－1B．1C．－iD．i4．设i是虚数单位，则5i2－i等于()A．1＋2iB．－1－2iC．1－2iD．－1＋2i5．如图，设向量OP→，PQ→，OQ→，OR→所对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，那么()A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z2＋z4－2z3＝06．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i7．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则zz＋z＋z等于()A．－1－iB．－1＋iC．1D．48．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，那么z等于()A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i9．定义运算acbd＝ad－bc，则符合条件1z－1zi＝4＋2i的复数z等于()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i10．若(m＋i)3∈R，则实数m的值为()A．±23B．±33C．±3D．±3211．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|2，那么实数a的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2,2)C．(－1,1)D．(－3，3)12．若－1－3i2是方程x2＋px＋1＝0的一个根，则p等于()A．0B．iC．－iD．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在复平面内，复数2i1－i对应点的坐标为________．14．下列命题，正确的是________．(填序号)①复数的模总是正实数；②虚轴上的点与纯虚数一一对应；③相等的向量对应着相等的复数；④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数．15．设z1＝1＋i，z2＝－2＋2i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．16．若复数z＝23＋2i对应的点为Z，则向量OZ→所在直线的倾斜角θ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)计算i－231＋23i＋(5＋i19)－1＋i222.18．(12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．19．(12分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．20．(12分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．21．(12分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？22．(12分)已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．第三章数系的扩充与复数的引入(B)答案1．A[∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴x2－1＝0，x2＋3x＋2≠0，∴x＝1.]2．A[1＋2i3＝1－2i＝1＋2i.]3．A[原式＝4i－33－4i＝－3－4i3－4i＝－1.]4．D[5i2－i＝5i2＋i2－i2＋i＝2i－1.]5．D[∵z2＋z4－2z3＝z2－z3＋(z4－z3)，而z2－z3对应的向量运算为：PQ→－OQ→＝PQ→－PR→＝RQ→，z4－z3对应的向量运算为：OR→－OQ→＝QR→，又∵RQ→＋QR→＝0，∴z2＋z4－2z3＝0.]6．D[设z＝bi(b≠0)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2＋bi1＋i2＝2－b＋2＋bi2.因为z＋21－i是实数，所以2＋b＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i.]7．D[zz＋z＋z＝(1＋i)(1－i)＋1＋i＋1－i＝2＋2＝4.]8．A[z＝4＋3i1＋2i＝4＋3i1－2i5＝10－5i5＝2－i，∴z＝2＋i.]9．A[1z－1zi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝4＋2i1＋i＝4＋2i1－i2＝6－2i2＝3－i.]10．B[因为(m＋i)3∈R，(m＋i)3＝m3－3m＋(3m2－1)i，所以3m2－1＝0，解得m＝±33.]11．D[∵|z－2|2，∴1＋a22，－3a3.]12．D[已知－1－3i2是方程x2＋px＋1＝0的一个根，则x＝－1－3i2满足方程，代入得－1－3i22＋p·－1－3i2＋1＝0，整理得(1－p)3i2＋12－p2＝0，解得p＝1.]13．(－1,1)解析2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝i(1＋i)＝－1＋i.∴复数对应点的坐标为(－1,1)．14．③15．2解析由题意知OA→＝(1,1)，OB→＝(－2,2)，且|OA→|＝|z1|＝2，|OB→|＝|z2|＝8＝22.∴cos∠AOB＝OA→·OB→|OA→|·|OB→|＝1×－2＋1×22×22＝0.∴∠AOB＝π2，∴S△AOB＝12|OA→|·|OB→|＝12×2×22＝2.16．π6解析由题意OZ→＝(23，2)，∴tanθ＝223＝33，即θ＝π6.17．解原式＝i1＋23i1＋23i＋(5＋i3)－2i11211＝i＋(5－i)－i11＝5－i3＝5＋i.18．解因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得：x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，根据复数相等的定义，得：x2＋x－2＝4，①x2－3x＋2＝20.②方程①的解为x＝－3或x＝2，方程②的解为x＝－3或x＝6.∴x＝－3.19．解(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．(3)当k2－5k－6≠0，k2－3k－4＝0，即k＝4时，该复数为纯虚数．20．解∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－3＋4i.又|2z1|＝2，∴|z2－3＋4i|＝2，即|z2－(3－4i)|＝2.由模的几何意义知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．21．解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴b＋c＝02＋b＝0，得b＝－2c＝2.∴b＝－2，c＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．22．解方法一(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋22＝22.方法二|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3＝1×(2)3＝22.(2)∵|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝cosθ－22＋sinθ＋22＝9＋42sinθ－π4.∴当sinθ－π4＝1时，|z－z1|2取得最大值9＋42，从而得到|z－z1|的最大值为22＋1.