49§3.02 周期信号的频谱分析――傅里叶级数

主要内容重点难点BUPTEE退出开始§3.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数三角形式的傅氏级数指数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与付里叶级数的关系周期信号的功率函数的对称性与付里叶级数的关系傅立叶级数的系数和频谱退出第第22页页这一节我们学习付里叶级数（三角形式，指数形式），讨论周期信号（满足狄利克雷条件）的频谱。主要内容如下：本节简介三角形式的傅氏级数指数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系及频谱图函数的对称性与付里叶级数的关系周期信号的功率退出第第33页页一.三角形式的傅立叶级数1.正交函数集2.级数形式()112,,TTtfπ基波角频率为周期为周期信号在、满足狄氏条件时，可展成：()()1sincos)(1110∑∞=++=nnntnbtnaatfωω直流分量∫+=TttdttfTa00)(10余弦分量的幅度∫+=TttntdtntfTa001cos)(2ω偶正弦分量的幅度∫+=TttntdtntfTb001sin)(2ω3.傅里叶级数的系数：奇{}L,1,0,sin,cos11=ntntnωω详细信息退出第第44页页三角函数集{}tntn11sin,cosωω是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,....∞∴都满足正交函数集基底函数条件。tntn11sin,cosωω0sincos2211=⋅∫−TTtmtnωω⎪⎩⎪⎨⎧≠==⋅∫−nmnmTtmtnTT,0,2coscos2211ωω⎪⎩⎪⎨⎧≠==⋅∫−nmnmTtmtnTT,0,2sinsin2211ωω由积分可知退出第第55页页其他形式00ac=22nnnbac+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−nnnabtg1ϕnnncaϕcos=nnncbϕsin−=余弦形式00ad正弦形式=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−nnnabtg1θnnndaθsin=nnndbθcos=()∑∞=++=110sin)(nnntnddtfθω22nnnbad+=()()2cos)(110∑∞=++=nnntncctfϕω退出第第66页页关系称为幅度频谱关系称为相位频谱可画出频谱图2.周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性1~ωnCn,11的奇函数为的偶函数为ωωnbnann3.ωφ~n1.信号都可分解为直流，基波（1ω）和各次谐波（1ωn，基波角频率的整数倍）的线性组合。说明退出第第77页页例3-2-1求周期锯齿波的三角形式的付里叶级数展开式。解：∫−==221101101TTtdtTATa∫−==22111110cos2TTntdtntTATaω∫−=2211111sin2TTntdtntTATbω3,2,1)1(1L=−=+nnAnπ周期锯齿波的付里叶级数展开式为()L−−+=tAtAtf112sin2sin0ωπωπ()2/2/)(111TtTtTAtf≤≤−=直流基波谐波t()tf21T21T−112Tπω=退出第第88页页二.指数形式的傅立叶级数1.复指数正交函数集{}L2,1,01±±=netjnω2.级数形式3.系数∫∫−−=11111001)()(TtjntjnTtjndteedtetfnFωωωω()4)()(11tjnnenFtfωω∑∞−∞==()5∫−=11011Ttjndte)t(fTω利用复变函数的正交特性nF也可写为退出第第99页页复变函数的正交特性--329页§6.3(四)在区间内，若复指数函数集满足以下关系),(21tt{}),2,1,0(,)(nrtgrL=jidttgtgttji≠=∫0)()(21*ittiiKdttgtg=∫21)()(*用表示，求相关系数{}),2,1,0(,)(nrtgrL=)(tf的共轭为)()(,)()()()(2121tgtgdttgtgdttgtfCrrttrrttrr∗∗∗∫∫=P329(6-70)P329(6-73)则此复变函数集为正交函数集。退出第第1010页页说明()变换对。式是一对、唯一确定，，则如给出)5()4()(1tfnFω•()的线性组合。区间上的指数信号周期信号可分解为tjne1,ω∞∞−•()4)()(11tjnnenFtfωω∑∞−∞==()()5)(11101∫−=TtjndtetfTnFωω退出第第1111页页三.两种系数之间的关系∫−=TtjndtetfTnF011)(1)(ωω∫∫−=TTtdtntfTjtdtntfT0101sin)(1cos)(1ωω()nnjba−=21∫∫+=−TTtdtntfTjtdtntfTnF01011sin)(1cos)(1)(ωωω()nnjba+=21利用欧拉公式利用欧拉公式()njenFnFϕωω)(11=是复数)(),(11ωωnFnF−∴退出第第1212页页nnncbanF2121)(221=+=ω相频特性⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−nnnabtg1ϕ幅频特性和相频特性幅频特性奇nbna1ωn是关于的偶函数)(1ωnF偶nϕ奇退出第第1313页页四.频谱图幅度频谱ncn~或ωωnnF~)(1绘成的图形，简称幅度谱。01相位频谱ω13ωω1ωnπnφ离散谱，谱线1ωω13ωnC0C1C3C请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-2解：10=c00=φ236.251==cπφ15.01−=12=cπφ25.02=化为余弦形式1ωω~ncω1C0C2C12ω024.21112ωπ25.0π15.0−01ωωωφ~n三角形式的频谱图，已知⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=42coscos2sin1)(111πωωωttttf⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+=42cos)15.0cos(51)(11πωπωtttf三角形式的傅里叶级数的谱系数退出退出第第1515页页化为指数形式()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++−+=+−+−−)4()42(1111112122211)(πωπωωωωωtjntjtjtjtjtjeeeeeejtftjjtjjtjtjeeeeejejtf1111242421212112111)(ωπωπωω−−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=tjnnenF1221)(ωω∑−==1)0(=F()πω15.0112.1211jejF−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=()πω15.0112.1211jejF=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−()41212πωjeF=()41212πωjeF−=−整理指数形式的傅里叶级数的系数退出第第1616页页谱线12ωπ25.0π15.0−01ωω1ω−π15.012ω−π25.0−ωφ~n12ω5.001ωω1ω−12.112ω−()ωω~1nF12.15.011)0(0==FF12.1)(11==ωFF12.1)(11=−=−ωFF5.0)2(12==ωFF5.0)2(12=−=−ωFF00=φπφ15.01−=πφ15.01=−πφ25.02=πφ25.02−=−指数形式的频谱图退出第第1717页页三角形式与指数形式的频谱图对比12ωπ25.0π15.0−01ωω1ω−π15.012ω−π25.0−ωφ~n12ω5.001ωω1ω−12.112ω−()ωω~1nF12.15.011ωω~ncω1C0C2C12ω024.21112ωπ25.0π15.0−01ωωωφ~n退出第第1818页页四.总结（1）周期信号f(t)的付里叶级数有两种形式（2）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（3）两种频谱图的关系（4）引入负频率（5）对特殊信号不一定满足上述三个性质退出第第1919页页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式()∑∞=++=1110sincos)(nnntnbtnaatfωω=∑∞=++110)cos(nnntnccϕωtjnnenFtf1)()(1ωω∑∞−∞==三角形式指数形式退出第第2020页页收敛性:()↓↑)(,1ωnFn(2)三个性质唯一性：的谱线唯一()tf1ωn1ωn1ωn谐波性：（离散性）谱线只出现在处1ωn退出第第2121页页指数形式：ωω~)(1nF，ωφ~n双边频谱三角形式：ω~nc，ωφ~n单边频谱000acF==)()(11ωωnFnF−=指数形式的相位谱为奇函数)()(11(3)两种频谱图的关系ωφωφnn−−=两者幅度关系=)(1ωnF()021≠ncn指数形式的幅度谱为偶函数退出第第2222页页(4)引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?Q()tf是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对tjne1ω与tjne1ω−，才能保证f(t)实函数性质不变。退出第第2323页页(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质）)(tTδ的频谱，有离散性，谐波性，无收敛性，频带无限宽ω()1ωnFOLLT1()()TdtetTnFTTtjn112211==∫−−ωδωtjnnTeTttf11)()(ωδ∑∞−∞===∴LLt0()tTδTT−()1,)()(∑∞−∞=−=nTnTttδδ例如：冲激序列(n为整数）的付里叶级数分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数的存在。即退出第第2424页页五．函数的对称性与付里叶级数的关系奇函数偶函数奇谐函数偶谐函数注：指交流分量退出第第2525页页1.为奇函数对称于坐标原点,()()tftf−−=)(tfLL0tTT−0=)(1220∫−=TTdttfTa0cos)(2221==∫−TTntdtntfTaω∫∫≠==201010sin)(4sin)(2TTntdtntfTtdtntfTbωω()()nnnnjbjbanFF−=−==2121)(1ω()tf傅氏级数只有正弦分量，是虚函数。)(1ωnF退出第第2626页页对称于坐标纵轴，()()tftf−=∫≠=2010cos)(4TntdtntfTaω0=nb()nnnnajbanFF2121)(1=−==ω2．为偶函数)(tfLL0tTT−不一定为0，傅氏级数只有余弦分量，是实函数。0a)(1ωnF()tf退出第第2727页页()⎟⎠⎞⎜⎝⎛±−=2Ttftf波形移动2T±，与原波形横轴对称，称为奇谐函数。f(t)的付氏级数偶次谐波为零，即n=2,4,6,…时,0==nnba3．为奇谐函数n=1,3,5,…时∫=201cos)(4TntdtntfTaω∫=201sin)(4TntdtntfTbω)(tfLL0tTT−2T()tf退出第第2828页页()⎟⎠⎞⎜⎝⎛±=21Ttftf112Tπω=原波形移动21T±与原波形重合，称为偶谐函数。4．为偶谐函数f(t)的付氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量即n=1,3,5,…时,n=2,4,6,…时∫=20111sin)(4TntdtntfTbω0==nnba∫=20111cos)(4TntdtntfTaω)(tfLL0t1T1T−21T()tf退出第第2929页页六．周期信号的功率2.证明1.描述周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和4.功率谱系数3.总结退出第第3030页页2.证明对于三角形式的傅里叶级数()∑∞=++=1110sincos)(nnntnbtnaatfωω平均功率()dttnbtnaaTdttfTPTnnnT20111002sincos1)(1∫∑∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==∞=ωω()∑∞=++=1222021nnnbaa∑∑∞=∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=122012202121nnnncaca对于指数形式的傅里叶级数()∑∑∞−∞=∞−∞==nnnFnF221ω==∫TdttfTP02)(100aF=cn振幅值总平均功率=各次谐波的平均功率之和退出第第3131页页3.总结这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和.也就是说，时域和频域的能量是守恒的.退出第第3232页页4.功率谱系数绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，注意和§6-7中的功率密度谱的区别。ω~2nF周期信号的截尾函数()tfT推出功率信号的功率密度函数退出第第3333页页狄利克雷（Dirichl