概率论与数理统计教程(茆诗松)第2章

第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第1页§2.1随机变量及其分布§2.2随机变量的数学期望§2.3随机变量的方差与标准差§2.4常用离散分布§2.5常用连续分布§2.6随机变量函数的分布§2.7分布的其他特征数第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第2页2.1.1随机变量的定义定义2.1.1设={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第3页注意点(1)(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X=1.5}是不可能事件.(2)若X为随机变量，则{X=k}、{aXb}、……均为随机事件.即{aXb}={；aX()b}第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第4页若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量.若随机变量X的可能取值充满某个区间[a,b]，则称X为连续随机变量.前例中的X,Y,Z为离散随机变量；而T为连续随机变量.两类随机变量第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第5页定义2.1.2设X为一个随机变量，对任意实数x，称F(x)=P(Xx)为X的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.2.1.2随机变量的分布函数第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第6页2.1.3离散随机变量的分布列设离散随机变量X的可能取值为：x1，x2，……，xn，……称pi=P(X=xi)，i=1,2,……为X的分布列.分布列也可用表格形式表示：Xx1x2……xn……Pp1p2……pn……第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第7页分布列的基本性质(1)pi0，(2)1.iip(正则性)(非负性)第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第8页注意点(2)对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第9页例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函数.0,01/3,01()1/2,121,2xxFxxx解：第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第10页X012P0.40.40.2解：0,00.4,01()0.8,121,2xxFxxx例2.1.2已知X的分布函数如下,求X的分布列.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第11页2.1.4连续随机变量的密度函数连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第12页定义2.1.4设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变量，()()xptdtFx若存在非负可积函数p(x)，满足：称p(x)为概率密度函数，简称密度函数.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第13页密度函数的基本性质(2)(1)()0;()1.pxpxdx满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第14页例2.1.3设X~3,0,()0,0.xkexpxx求(1)常数k.(2)F(x).(1)k=3.(2)31,0,()0,0.xexFxx解：第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第15页§2.2随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第16页两种分法1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第17页2.2.1数学期望的概念若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第18页2.2.2数学期望的定义定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...若级数绝对收敛，则称该级数为X的1iiixp数学期望，记为1()iiiEXxp第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第19页连续随机变量的数学期望定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X的()xpxdx数学期望，记为()()EXxpxdx第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第20页例2.2.1则E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X1012P0.20.10.40.3第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第21页数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注意点第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第22页2.2.3数学期望的性质定理2.2.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则1()()(())()()iiigxPXxEgXgxpxdx第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第23页例2.2.2设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第24页数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第25页例2.2.32,01()0,xxpx其它设X~求下列X的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X2)2解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第26页§2.3随机变量的方差与标准差数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第27页2.3.1方差与标准差的定义定义2.3.1若E(XE(X))2存在，则称E(XE(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X))2第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第28页(2)称注意点X=(X)=Var()X(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第29页2.3.2方差的性质(1)Var(c)=0.性质2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性质2.3.3(3)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质2.3.1第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第30页例2.3.1设X~01()2120xxpxxx其它,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)=3231211()0133xxx=1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6()dxpxx1201d(2)dxxxxxx2()dxpxx123201d(2)dxxxxx第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第31页随机变量的标准化设Var(X)0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var()XEXXY称Y为X的标准化.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第32页§2.4常用离散分布2.4.1二项分布记为X~b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,,0,1,...,()(1).knkknnPXkppk当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第33页试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：若Y为不合格品件数，Y？Y~b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第34页若随机变量X的概率分布为(),0,1,2,!kPXkekk则称X服从参数为的泊松分布,记为X~P().2.4.2泊松分布第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第35页记为X~h(n,N,M).(),MNMknkPXkNn超几何分布对应于不返回抽样模型：N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3超几何分布第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第36页1()(1),1,2,kPXkppk记为X~Ge(p)X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无记忆性，即：P(Xm+n|Xm)=P(Xn)2.4.4几何分布第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第37页注意点(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和.(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第38页常用离散分布的数学期望几何分布Ge(p)的数学期望=1/p0-1分布的数学期望=p二项分布b(n,p)的数学期望=np泊松分布P()的数学期望=第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第39页常用离散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)二项分布b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第40页§2.5常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第41页记为X~N(,2),2()1()exp,222xpxx其中0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数.2.5.1正态分布第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第42页yxOμ第二章随机变量及其分布华东师范大学16March2020第43页正态分布的性质(1)p(x)关于是对称的.p(x)x0μ在点p(x)取得最大值.(2)若固定,改变,(3)若固