初中数学竞赛辅导资料(64)

246初中数学竞赛辅导资料(64)最大最小值甲内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442.∵在实数范围内(x+ab2)2≥0，∴若a0时，当x=－ab2时，y最小值=abac442；若a0时，当x=－ab2时，y最大值=abac442.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0，4ay≥4ac－b2.若a0，y≥abac442，这时取等号，则y为最小值abac442；若a0，y≤abac442，这时取等号，则y为最大值abac442.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a0,b0,a+b=k.(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－21k)2+42k.当a=2k时，ab有最大值42k.247证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+ak,a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2k(不合题意舍去)；y≥2k.∴y最小值=2k.解方程组.2kabkba，得a=b=k.∴当a=b=k时，a+b有最小值2k.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.乙例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=2362xx,∵y是实数，∴y2≥0.即2362xx≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=－21(x－3)2+29在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.248即.21kabkba，∴a和b是方程x2－21kx+k=0的两个实数根.∵a,b都是正实数，∴△≥0.即(－2k)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0.k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=xy.∵△AHG∽△ABC，∴hxhaxy.∴y=4)2()(2ahhxhahxhax.∴当x=2h时，y最大值=4ah.即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah.例4.如图已知：直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.∵m∥n，∴PAPCABCD＝.∴CD=xxba)(S△PAB+S△PCD=21axSinα+21xxba)((b－x)Sinα=21aSinα()222xxbxbx=21aSinα(2x+)22bxb.ahXABCDHEGFnmxbaPACBD249∵2x×xb2=2b2(定值)，根据定理二，2x+xb2有最小值.∴当2x=xb2，x=b221时，S△PAB+S△PCD的最小值是(2－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=21ab∴ab＝2S△.∵2r=a+b－c,∴c=a+b－2r.∴a+b－2r=22ba.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S△代入，得4+4S△－4(a+b)=0.a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a,b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即[－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0.解得S△≥3+22或S△≤3－22.S△≤3－22不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC中，AB=26，∠C=30.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y－a.根据余弦定理，得(26)2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a的二次方程：(2+3)a2－(2+3)ya+y2－(8+43)=0.∵a是实数，∴△≥0.即(2+3)2y2－4(2+3)[y2－(8+43)]≥0，y2－(8+43)2≤0.∴－(8+43)≤y≤(8+43).∴a+b的最大值是8+43.abcr=1OBCAcab30ABC250又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b时，a+b的值最大.由余弦定理，(26)2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+23.………丙练习641.x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5，那么.x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是________.5.若x0,则x+x9的最小值是________.6.如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是()（A）tan48+cot48..(B)sin48+cos48.(C)tan48+cos48.(D)cot48+sin48.(1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________(1986年全国初中数学联赛题)10.如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11.△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.△ABC中∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k)(0k1).问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？CDABABCⅠⅡⅢABCPQcab30ABC