第7章多元函数积分学12-16(习题课)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第7章多元函数积分学高等数学A曲线积分与格林公式习题课内容小结对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件题型小结对弧长的曲线积分习例1-4对坐标的曲线积分习例5-7曲线积分与格林公式习题课Green公式应用习例8-10曲线积分与格林公式第一部分:内容小结一.对弧长的曲线积分1.定义:.),(lim),(10niiiiLsfdsyxf.),,(lim),,(10niiiiisfdszyxf2.对弧长的曲线积分的性质:.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL.),(),()4(BAABdsyxfdsyxf对弧长的曲线积分与路径的走向无关!.)5(Ldss3.对弧长的曲线积分的计算:(1)直接计算法:方法：一代二换三定限)()()](),([),(22)()(dtttttfdsyxfttytxL)(1)](,[),(2)(dxxxxfdsyxfbabxaxyL)(1]),([),(2)(dyyyyfdsyxfdcdycyxL)()(]sin)(,cos)([),(22sin)(cos)(drrrrfdsyxfryrxL)()()()](),(),([),,(222)()()(dtttttttfdszyxfttztytxL(2)利用对称性简化计算,)1(轴时对称于当xL),(),(0),(),(),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL上,)2(轴时对称于当yL),(),(0),(),(),(2),(yxfyxfyxfyxfdsyxfdsyxfLL右,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(Ldsyxm;,1),()2(LdsLyxf弧长时当)3(曲线弧的重心坐标.,LLLLdsdsyydsdsxx曲线弧的转动惯量)4(.)(,,2222LoLyLxdsyxIdsxIdsyI对空间曲线构件也有结论!4.对弧长的曲线积分的应用:二.对坐标的曲线积分1.定义:),(lim),(10niiiiLxPdxyxP),(lim),(10niiiiLyQdyyxQ.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR2.对坐标的曲线积分的性质:.),(),(),(),()1(2121LLLdyyxQkdxyxPkdyyxQkdxyxPk.,)2(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),()3(即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.3.对坐标的曲线积分的计算:(1)直接计算法:方法：一代二换三定限.)}()](),([)()](),([{)()(dttttQtttPQdyPdxtytxtL从.)}()](,[)](,[{)(dxxxxQxxPQdyPdxbaxybaxL从.]}),([)(]),([{)(dyyyQyyyPQdyPdxdcyxdcyL从.sin)(cos)(dQdyPdxryrxL从dtttttRttttQttttPRdzQdyPdxtztytxt)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{)()()(从(2)利用对称性简化计算,)1(轴时对称于当xL),(),(0),(),(),(2),(yxPyxPyxPyxPdxyxPdxyxPLL上,)2(轴时对称于当yL),(),(0),(),(),(2),(yxQyxQyxQyxQdyyxQdyyxQLL右4.对坐标的曲线积分的应用:LdsFWRdzQdyPdxQdyPdxL5.两类曲线积分的关系:LLdsQPQdyPdx)coscos(.),(cos,cos处的切向量的方向余弦在是其中yxLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(.),,(cos,cos,cos处的切向量的方向余弦在是zyx三.Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件1.Green公式:.,)coscos()(的取正向的边界曲线是其中DLdsQPQdyPdxdxdyyPxQLLD.cos,cos的切向量的方向余弦为L2.平面曲线积分与路径无关的四个等价关系:,),(),,(,则以下四个命题等价一阶连续偏导内有在是单连通区域设GyxQyxPG.)1(内恒成立在GxQyP;,0)2(线中一光滑或分段光滑曲为GLQdyPdxL,)3(),(与路径无关BALQdyPdx;有关和终点的起点仅与BAL;),(),,()4(QdyPdxyxduyxuG使得内有函数在;),(),(),(000CdyyxQdxyxPyxuyyxx或者.),(),(),(000CdxyxPdyyxQyxuxxyy).,(),(),(1122),(),(),(),(22112211yxuyxuyxuQdyPdxyxyxyxyx.),(),(2121221121),(),(yyxxyxyxdyyxQdxyxPQdyPdx第二部分:题型小结22221.,2.LxydsLxyy例算其中曲计为线22233344332.(),.LxydsLxyaÑ例算其中星形计为线22,,2cos2()(0).34.4LxxydsLraaÑ算其中的右半支即例计为双纽线3414.3r算曲自到的一段弧.例4的度计线长解:法1:tytxsin1cos令)20(tdtttttdsyxL22202222cossin)1(sincos法2:,sin2r由sinsin2cossin2yx令)2()0(或22221.,2.LxydsLxyy例算其中曲计为线解:313cos:(0)2sinxatLtyat取Ldsyx)(343422233344332.(),.LxydsLxyaÑ例算其中星形计为线144334()Lxyds4442222230(cossin)(3cossin)(3sincos)attattattdt22,,2cos2()(0).34.4LxxydsLraaÑ算其中的右半支即例计为双纽线解:12cos2cos:(0)42cos2sinxaLya取2cos2sin22cos22sin22aar2cos222arr1d222Lsyxx原式4022cos22cos2cos2cos22daaa403cos2cos24da4023sinsin2124da3414.3r算曲自到的一段弧.例4的度计线长解:Ldrrs2234434211d34432211d3443)1(12d3443344322111d34433443)1ln(12223ln1252222.()(),11(02).CxydxxydyCyxxx例5算其中曲沿增大的方向计为线26.arctan,,.OmAnOydydxxOmAyxOnAyxÑ例算其中物直计为抛线为线222.,:1,.xyzdxxyzyxxÑ例7求面正向,方向依逆方向对轴时针解:21,210,11xxxxxyCdyyxdxyx)()(2222212221221022])2([])2([)(dxxxdxxxdxxx212102)2(22dxxdxx.342222.()(),11(02).CxydxxydyCyxxx例5算其中曲沿增大的方向计为线解:,10,:2由xxyomA,01,:由xxyAnodxdyxyomAnoarctan0110)11(arctan)1arctan2(dxdxxx26.arctan,,.OmAnOydydxxOmAyxOnAyxÑ例算其中物直计为抛线为线222.,:1,.xyzdxxyzyxxÑ例7求面正向,方向依逆方向对轴时针解:11:cos,cos,sin,22xtytzt取02由t02)cos21d(sincos21cos21tttt原式2022dsincos221ttt202d2sin281tt22.[cos()2][2cos()3]Lxyydxyxyxdy例8算计.0sin的段弧到上自为其中xxxyL22222()()9.,CxydxxydyxyCxyaÑ例算其周,逆方向正向中.计为圆时针为2{(,)|0},(,)0(,)(,).:,(,)(,)0..LDxyyfxytftxtytfxyDLyfxydxxfxydyÑ在上半平面函具有偏且任意都有明的任意例10分段光滑的有向曲都有设内数连续导数,对证对内简单闭线解:xyo)sin(222yxyyP)sin(232yxyxQA添加辅助线AO,应用Green公式,AOAOL原式AODdxdyxdydxsin000cosxdx.222.[cos()2][2cos()3]Lxyydxyxyxdy例8算计.0sin的段弧到上自为其中xxxyL22222()()9.,CxydxxydyxyCxyaÑ例算其周,逆方向正向中.计为圆时针为解法1:cos:sinxatCyat取20由t被积函数的奇偶性可得由积分路径的对称性与Cyxxdyydx22原式202)sind(cos)cosd(sinatatatata220dt解法2Cxdyydxa21原式DGreendxdya)11(12公式Ddxdya222222aa2{(,)|0},(,)0(,)(,).:,(,)(,)0..LDxyyfxytftxtytfxyDLyfxydxxfxydyÑ在上半平面函具有偏且任意都有明的任意例10分段光滑的有向曲都有设内数连续导数,对证对内简单闭线证:,),(),(2