2.2等差数列公开课课件

等差数列（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062请观察：请问：它们有什么共同特点？（2）28,21.5,15,8.5,2,…,-24（3）1，1，1，1，···.共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.d=76d=-6.5d=0)1(1ndaann或)2(1ndaann即它们是等差数列吗？(2)5，5，5，5，5，5，…公差d=0常数列公差d=2x(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10×,3,5,7,9,xxxxx(3)【说明】数列{an}为等差数列an+1-an=d(n≥1)1.判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：(1)从第二项开始(2)后一项与前一项的差(3)同一个常数(公差d)，即an-an-1或an+1-an是不是同一个常数；2.公差d可以是正数，负数，也可以为0.归纳总结等差数列的通项公式推导如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么,1a,2a,3a,na……daa12daa12daa233addada12da21daa344ada3da31nadna)1(1通项公式：.)1(1dnaan归纳得:等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d，那麽由定义得：a2-a1=d(1)a3-a2=d(2)a4-a3=d(3)a5-a4=d(4)………..an-an-1=d(n-1)等号左边为：an-a1,等号右边为：(n-1)d所以：an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d当n=1时，上式两边都等于a1。∴n∈N*，公式成立。∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)dn-1个例1(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：49)3()120(820a(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401？解：,401,4)5(9,51nada因此，)4()1(5401n解得100ndnaan)1(1,20,385,81nda用一下.)1(1dnaan在等差数列通项公式中，有四个量，，，，，nanda1知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一.例2在等差数列中,已知a5=10,a12=31,解：由题意可知即这个等差数列的首项是-２，公差是３.求首项a1与公差d.dnaan)1(1114101131adad123ad解得：说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列.探究：已知等差数列{}中，公差为d，则与(n,m∈N*)有何关系？解：由等差数列的通项公式知①－②nanama，dmaam)1(1，dnaan)1(1①②，dmnaamn)(（这是等差数列通项公式的推广形式）.)(dmnaamn1.求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2.100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3.-20是不是等差数列0，-，-7…中的项；,154a,277a3910adnaan)1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练72练一练4.在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad120a等差中项若a,b,c三个数成等差数列，这时我们把b叫做a与c的等差中项。你能用a与c表示b吗？因为，b-a=d,c-b=d所以，2b=a+c即a与c的等差中项是a与c的算术平均数等差中项的应用例3：三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.解：假设三个数分别为a,b,c,那么由题意可得a+b+c=12(1)2b=a+c(2)ac=12(3)∴由（1）（2）（3）可得a=2,b=4,c=6.ora=6,b=4,c=2。（1）在等差数列中，是否成立？（2）在数列中中，如果对于任意的正整数n都有，那么数列一定是等差数列吗？nanana数学应用211aaannn211aaannn例4：(1)已知数列{an}的通项公式是an=3n-1，求证：{an}为等差数列；【小结】①数列{an}为等差数列an=pn+qp、q是常数.②证明一个数列为等差数列的方法是：证明：an+1-an为一个常数.③证明：211aaannn②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=等差数列的性质1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的反过来是不一定成立的；例.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0Zx.xk研究性问题3005003.在等差数列{an}中,a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？d=5,提示：an=78+5n52845244nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=4n=72a3=a10+(3-10)da3=27注意：上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=一、知识巩固1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===