BS模型在资产评估中的应用

B-S模型在资产评估中的应用主讲老师赵强一、Black-Scholes模型介绍（一）Black-Scholes模型介绍Black-Scholes模型是FisherBlack和MyronScholes首先提出了一种估算期权价值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算：（1）二项式定价模型方法；（2）风险中性定价方法。期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。（二）B-S模型的适用前提B-S模型是建立在以下假设基础上的：（1）股票价格是一个随机变量服从对数正态分布；（2）在期权有效期内，无风险利率是恒定的；（3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；（5）不存在无风险套利机会；（6）证券交易是持续的；（7）投资者能够以无风险利率借贷。设：μ为股票每年投资回报率期望值；σ为股票价格的年波动率。在t时刻股票价格为S，则在t＋dt时刻股票的价格应该为S＋μS，如果用微分方程描述就是：上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。进一步推导，可以得出结论：即：Ln（ST）－Ln（S0）＝Ln（ST/S0）～N（（μ－σ2/2）T，σ2T）。其中：S0：股票初始价格；T：是初始时间距目前阶段的时间。进一步：Ln（ST）～N（Ln（S0）＋（μ－σ2/2）T，σ2T）如果设ST是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述：如果ST是一个随机变量，满足ST≥X的概率为P，则满足ST＜X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：E（ST）＝（ST－X）×P＋0×（1－P）这就是看涨期权C的价值估算。对于看跌期权P：如果满足ST＜X的概率为P，则满足ST≥X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：E（ST）＝（X－ST）×P＋0×（1－P）这就是看跌期权P的价值估算。B-S模型的推导：由于看涨期权的收益：C＝e-rTE（max（ST－X），0）＝e-rT[E（ST－X/ST＞X）＋E（ST－X/ST＜X）]上式中的后半部分，根据看涨期权的定义是等于0的，因此可以得到看涨期权的收益：C＝e-rTE（ST－X/ST＞X）设：Y＝Ln（），则Y服从正态分布，而＝eY，这样看涨期权的收益C可以改写为：注意关注下式：该等式定义了N（d2）是随机变量大于行权价X的概率，也就是发生行权事件的概率。（三）B-S模型的分类B-S模型一般分为两类：（1）不含分红派息的B-S模型：所谓不含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，认为标的股票在期权到期日之前这段时间内没有分红派息，或者说不考虑分红派息；（2）含分红派息的B-S模型：所谓含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，需要考虑标的股票在期权到期日之前这段时间内进行的分红派息对期权价值的影响。不含分红派息的买期权C（CallOption）：C0＝SN（d1）－Xe-rTN（d2）上式中：C0：不含分红派息买期权（看涨期权）；X：期权执行价；S：标的资产现实价格；r：连续复利计算的无风险收益率；T：期权到期时间；N（）：标准正态密度函数；d1，d2：B-S模型的两个参数。上式中：X：期权执行价；S：标的资产现实价格；r：连续复利计算的无风险收益率；T：期权到期时间；σ：股票波动率。含分红派息的买期权C（看涨期权）：C1＝Se-δTN（d1）－Xe-rTN（d2）上式中：C1：含分红派息的买期权（买期权、看涨期权）；X：期权执行价；S：标的资产现实价格；r：连续复利计算的无风险收益率；T：期权限制时间；δ：连续复利计算的股息率；N（）：标准正态密度函数；d1，d2：B-S模型的两个参数。上式中：X：期权执行价；S：标的资产现实价格；r：连续复利计算的无风险收益率；T：期权到期时间；σ：股票波动率；δ：连续复利计算的股息率。不含分红派息的卖期权P0（看跌期权）：P0＝Xe-rTN（-d2）－SN（-d1）含分红派息卖期权P1（看跌期权）:P1＝Xe-rTN（-d2）－Se-δTN（-d1）看涨期权实际就是当标的资产的价格ST高于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X买入标的资产，这时由于ST≥X，因此期权拥有者可以获利ST－X，反之当标的资产价格ST＜X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：看涨期权函数曲线看跌期权实际就是当标的资产的价格ST低于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X卖出标的资产，这时由于ST≤X，因此期权拥有者按X价卖出标的资产，还可以按ST再买回标的资产，这样就可以获利X－ST，反之当标的资产价格ST＞X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：看跌期权函数曲线（四）特殊形式的期权两点式期权（BinaryOption）：所谓两点式期权就是具有不连续收益的期权。典型的例子就是现金或无值（Cash-or-Nothing）期权。现金或无值（Cash-or-Nothing）看涨期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为0，当标的资产价格高于执行价时，期权价值为给定值Q。现金或无值（Cash-or-Nothing）看涨期权的图形：现金或无值（Cash-or-Nothing）看跌期权当标的资产价格低于执行价时该期权价值为Q，当标的资产价格高于执行价时，期权价值为制定值0。现金或无值（Cash-or-Nothing）看跌期权的图形：在B-S看涨期权模型中：C1＝Se-δTN（d1）－Xe-rTN（d2）标的资产价格高于执行价的概率为N（d2），因此当标的资产低于执行价时现金或无值（Cash-or-NothingCall）看涨期权价值为0，当标的资产价值高于执行价时，该期权价值为：Q＝Xe-rTN（d2）在B-S看跌期权模型中：P0＝Xe-rTN（-d2）－SN（-d1）当标的资产高于执行价时现金或无值（Cash-or-NothingPut）看跌期权价值为0，当标的资产价值低于执行价时，该期权价值为：Q＝Xe-rTN（-d2）（五）股票波动率σ的估算1．股票波动率一般有两个估算途径（1）采用历史数据估算；（2）采用隐含方式估算。2．采用历史数据估算σ的计算方法（1）采用与期权到期时间T相同年限的股票历史数据计算；（2）每期数据采用Ln（St＋1/St）（t=1，2，3，…n）；（3）估算历史数据的标准差。3．采用历史数据法估算σ的方法（1）采用标的股票历史数据估算σ。（2）采用对比公司或行业多个股票历史数据估算σ。由于股票波动是随机的，因此对于某个特定股票的预期波动率与其历史数据之间应该不存在关系，因此最好采用该股票所在行业的多个对比股票或全部股票的波动率方差平均值估算。（3）采用隐含法估算σ，一般都采用彭博数据，目前国内尚没有相关机构提供相关数据。所谓隐含法就是向相关专业人员进行股票期权询价，采用专业认定的期权价格反算股票的波动率。B-S模型中无风险收益率r、期权到期时间T和波动率σ三个参数估算应该相互匹配：如果r是采用年收益率，则T需要按年计算，σ也需要估算其年度波动率；如果r是采用月度收益率，则T需要按月计算，σ也需要估算其月度波动率；实际中多采用年度为时间单位计算r、T和σ。二、B-S模型在股票期权公允价值评估中的应用（一）股票期权作为一种管理层激励的一种手段越来越多地被国内上市公司所采用按照相关会计准则的要求，企业实施股权（票）激励，需要按公允价值计量；实施股权（票）激励的企业每年至少需要将其正在实施的股权（票）激励的期权的公允价值评估出来，为财务报告目的服务；期权的公允价值评估的基准日选择需要根据需要与企业或审计人员协商后确定。（二）股票期权激励的概念所谓股票激励期权通常是上市公司的董事会以决议的方式确定无偿授予公司高级管理人员一个购买股票的权利，该权利规定授权人可以在一个特定时间内，在一定的条件下，以某一个特定的价格购买公司若干股股票。上市公司仅仅是授权公司高管可以以约定的价格购买股票，也就是授权仅是可以购买股票，并不是授给公司高管股票。从另外一个角度分析，股票期权就是上市公司与公司的高级管理人员约定进行一项股票交易。上市公司是约定股票的卖方（空头），其承担义务是一旦买方要求购买股票，则其必须要按约定的价格卖出其持有的股票。公司管理人员则是股票的买方（多头），其具有一项权利，可以在一个有效期内，按照约定低价格去购买一定数量的股票，管理人员可以选择实际购买，也可以选择不购买。上述交易中空头方给予多头方的权利不是免费的，需要多头方给予对价补偿，这个对价就是期权的价值。但是股票激励实务中，管理层并不实际支付这个对价，因此造成上市公司需要自行支付对价，即在当期损益中增加相应的成本，这也是需要进行财务报告目的评估的原因，准确计量上市公司替管理层支付这个期权的成本。从上述分析中可以看到股票激励期权应该是一个有权购买股票的权利，因此是一个看涨期权（CallOption）。（三）股票期权公允价值评估案例分析1．案例情况介绍ABC公司同事会决定对公司高管给予40万份股票期权激励。股票期权的授予日为：2011年X月28日。股票期权行权价格为16.85元，但是股票期权有效期内发生资本公积转增股本、派发股票红利、股份拆细或缩股、配股、派息等事宜，行权价格将做相应的调整。行权安排：本计划授予的股票期权自本期激励计划授予日起满12个月后。2．模型选择股票激励期权的模型是看涨期权，通常包括两种：（1）不含分红派息模型C＝SN（d1）－Xe-rTN（d2）（2）包含分红派息模型C＝Se-δTN（d1）－Xe-rTN（d2）根据案例介绍，本次授予的期权是要考虑分红派息问题的，因此应该选择含有分红派息的模型：C＝Se-δTN（d1）－Xe-rTN（d2）3．参数取值估算S：现实股票价格，取评估基准日ABC公司的股票均价15.1元/股；X：行权价格，根据ABC公司2011年X月28日的关于股票期权授予相关事项的公告，股票期权的行权价格为16.85元；T：股权有效期，选择行权日距基准日的期间，按年计算，本次评估为一年（12个月）；r：连续复利计算的年无风险收益率，在Wind数据中选择剩余年限为1-2年内的国债年到期收益率平均值为3.579%；σ：股票波动率，选取Wind行业中可选消费-耐用消费品与服装—家庭耐用消费品—家用器具与特殊消费品行业中的上市公司作为对比公司，取其基准日前股价并计算1年（12个月）的股票波动率为32.933%，并以此作为期权的预期波动率；δ：连续复利计算的股息率，ABC公司于2007年上市，截止评估基准日共进行两次分红，通过计算其历史平均分红率为0.530%，以此作为未来股息收益率。股票期权评估案例计算表三、B-S模型在限制流通股价值评估中的应用（一）采用期权估价方式估算缺少流通性折扣最早出现在1993年DavidB.H.Chaffe，III建议采用对冲交易手段作为缺少流通折扣的估算模式；1995年，FrancisLongstaff发表了一个研究。采用的对冲交易策略是利用一个回望式看跌期权（Look-backPut）。（二）采用B-S模型估算限制流通价值的思路分析设股票现实价格为S，限制期为T年后的股票价格为X，如果投资者仅单买股票：（1）当限制期T年后，股票价格X≥S时，可以认为这个T年的限制期对于投资者没有损失，不论股票是否存在限制，T年后全部盈利X－S；（2）当限制期T年后，股票价格X＜S时，可以认为这个T年限制使得投资限制流通股票的投资者损失S－X。如果投资者在投资买股票的同时又购买了一个期限为T，并且在期限T满后的卖出股票行权价为股票初始价S的卖期权（看跌期权）：（1）当限制期T年后，股票价格X≥S时，股票投资盈利X－S，投资者不会行权，期权价值为0；（2）当限制期T年后，股票价格X＜S时，股票投资损失S－X，但投资者拥有一个行权价为S卖期权，因此仍然可以以S的价格卖出股票，因此期权的价值为S－X，也就是可以对冲股票投资的损失。结论