导数的应用题

练习1（08广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则2160100001080056048560482000fxxxxx10,xxZ21080048fxx,令0fx得15x当15x时，0fx；当015x时，0fx因此当15x时，f（x）取最小值152000f；12、某村计划建造一个室内面积2800m为的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽m1的通道，沿前侧内墙保留宽m3的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？12、解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则800ab.蔬菜的种植面积aaababbaS32002808824)2)(4(从而2'32002aS，令0320022'aS得)40)((40舍去ama因为函数S只有一个极值点)(40ma，从而)(40ma也是最大值点，所以当矩形温室的左侧边长为m40，后侧边长为m20时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是2648mS最大值.11.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？解：设容器的高为x，容器的体积为V.则　　,)248)(290(xxxV(0x24)＝4320276423xxx∵4320552122xxV‘x由（舍去）　　得　’36,10021xxV∴0V2410;0V,100＜时，　　　　时’‘xx所以当(10)10,VV19600x　　有最大值　又00)24()0(VV　，　所以1960V1010＝时，　当）（x0答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积196003cm用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90－2x）（48－2x）x,(0x24)=4x3－276x2+4320x∵V′=12x2－552x+4320由V′=12x2－552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x10时，V′0,10x36时，V′0,x36时，V′0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=19600又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V有最大值V(10)=1960012.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多?(不到100人不组团)12.．解：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y则依题意有()fx=1000x-5（x-100）x（100≤x≤180）令()1500100fxx得x=150又(100)100000f，(150)112500f，(180)108000fEFGHCBDAP所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。12.某厂生产某种产品x件的总成本37521200)(xxc（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？分析：先建立总利润的目标函数，总利润=总销售量-总成本C(x)=产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.解：设产品的单价P元，据已知，250000,50,100,2kPxxkP，,2500002xP0,500xxP设利润为y万元，则,1200752500752120050033xxxxxy2252250xxyxx2552255，,0,25yxyyx,0),25,0(递增；yyx,0),,25(递减，yx,25极大=y最大.答：当产量为25万件时，总利润最大（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，96ABCS，2265412BEFBDCxSSx,V(x)=261(9)312xx（036x）（2）261'()(9)34Vxx，所以(0,6)x时，'()0vx，V(x)单调递增；636x时'()0vx，V(x)单调递减；练习3：如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。F图6PEDCBA因此x=6时，V(x)取得最大值126；（3）过F作MF//AC交AD与M,则,21212BMBFBEBEMBBEABBCBDAB，PM=62，6654942336MFBFPFBC，在△PFM中，714227284cosPFM，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为71；