2015挑战中考数学压轴题(精选)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12013年上海市中考第24题例22012年苏州市中考第29题例32012年黄冈市中考第25题例42010年义乌市中考第24题例52009年临沂市中考第26题例62008年苏州市中考第29题1.2因动点产生的等腰三角形问题例12013年上海市虹口区中考模拟第25题例22012年扬州市中考第27题例32012年临沂市中考第26题例42011年湖州市中考第24题例52011年盐城市中考第28题例62010年南通市中考第27题例72009年江西省中考第25题1.3因动点产生的直角三角形问题例12013年山西省中考第26题例22012年广州市中考第24题例32012年杭州市中考第22题例42011年浙江省中考第23题例52010年北京市中考第24题例62009年嘉兴市中考第24题例72008年河南省中考第23题1.4因动点产生的平行四边形问题例12013年上海市松江区中考模拟第24题例22012年福州市中考第21题例32012年烟台市中考第26题例42011年上海市中考第24题例52011年江西省中考第24题例62010年山西省中考第26题例72009年江西省中考第24题1.5因动点产生的梯形问题例12012年上海市松江中考模拟第24题例22012年衢州市中考第24题例42011年义乌市中考第24题例52010年杭州市中考第24题例72009年广州市中考第25题1.6因动点产生的面积问题例12013年苏州市中考第29题例22012年菏泽市中考第21题例32012年河南省中考第23题例42011年南通市中考第28题例52010年广州市中考第25题例62010年扬州市中考第28题例72009年兰州市中考第29题1.7因动点产生的相切问题例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题例22012年河北省中考第25题例32012年无锡市中考第28题1.8因动点产生的线段和差问题例12013年天津市中考第25题例22012年滨州市中考第24题例32012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12013年宁波市中考第26题例22012年上海市徐汇区中考模拟第25题例32012年连云港市中考第26题例42010年上海市中考第25题2.2由面积公式产生的函数关系问题例12013年菏泽市中考第21题例22012年广东省中考第22题例32012年河北省中考第26题例42011年淮安市中考第28题例52011年山西省中考第26题例62011年重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12013年南京市中考第26题例22013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题例22013年江西省中考第24题声明选自东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。《挑战中考数学压轴题》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得33a．图2所以抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．所以3tan3BOM．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，233OM．所以∠ABO＝30°，3OAOM．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)．②如图4，当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)．图3图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5例22012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,4b)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bxbxbx＝2b．解得165x．所以点P的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BAQAQAOA，即2QABAOA时，△BQA∽△QOA．所以2()14bb．解得843b．所以符合题意的点Q为(1,23)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当BAQAQAOA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此BOQACOOA，即14bQAb．解得4QA．此时Q(1,4)．图4图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例32012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻．思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程．满分解答（1）将M(2,2)代入1(2)()yxxmm，得124(2)mm．解得m＝4．（2）当m＝4时，2111(2)(4)2442yxxxx．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝1162622BCOE．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEOCPCO．因此234HP．解得32HP．所以点H的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCEBF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为1(,(2)())xxxmm，由''FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由'COBFCEBF，得244mmBFm．所以2(4)4mmBFm．由2BCCEBF，得222(4)4(2)4mmmmm．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以BEBCBCBF，即2BCBEBF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1(2)()2xxmxm．解得x＝2m．所以F′(2,0)m．所以BF′＝2m＋2，2(22)BFm．由2BCBEBF，得2(2)222(22)mm．解得222m．综合①、②，符合题意的m为222．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例42010年义乌市中考第24题如图