2016高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第三讲 函数与方程及函数的实际应用课件 文

随堂讲义专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第三讲函数与方程及函数的实际应用主干考点梳理高考热点突破栏目链接高考热点突破突破点1函数零点的确定与应用问题若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4B．4C．3D．2思路点拨：函数零点的个数⇔方程解的个数⇔函数y＝f(x)与y＝log3|x|的图象交点的个数．高考热点突破解析：同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图所示．观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.答案：B高考热点突破解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．高考热点突破►跟踪训练1．(2015·北京卷)设函数f(x)＝2x－a，x＜1，4（x－a）（x－2a），x≥1.①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．高考热点突破解析：①当a＝1时，f(x)＝2x－1，x＜1，4（x－1）（x－2），x≥1.当x＜1时，f(x)＝2x－1∈(－1，1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4x－322－14≥－1，∴f(x)min＝－1.主干考点梳理②由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x＜1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点．因此a≥2满足题意．当f(x)＝2x－a，x＜1有一个零点时，0＜a＜2.f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，此时a＜1，2a≥1，因此12≤a＜1.综上知实数a的取值范围是a|12≤a＜1或a≥2.答案：①－1②a|12≤a＜1或a≥2高考热点突破突破点2用二分法求函数零点的近似值问题借助计算器或计算机用二分法求方程lnx＋x－3＝0在(2，3)内的根(精确到0.1)．思路点拨：本题可以利用二分法求函数零点的近似值，然后确定函数的零点．解析：令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)＝0在(2，3)内的零点．∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3＞0.∴f(x)在(2，3)上存在零点．∴可取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：高考热点突破∵2.1875≈2.2，2.21875≈2.2，∴所求方程的根为2.2(精确到0.1)．高考热点突破(1)二分法是求不熟悉方程近似解的重要方法，其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在范围的极限思想．在求解中，初始区间的选取可以不同，但不影响求解结果，不过应尽量使初始区间的长度小一些．另外要注意随时根据题目给出的精确度要求进行检验，看所得到的区间是否符合精确度要求．若满足，则停止计算，便得到近似解．高考热点突破(2)“精确度”与“精确到”的不同：“精确度”是二分法中的特有概念，它是指最终确定的区间长度应小于的一个长度值，而“精确到”是数学计算中进位制的一种要求．如在二分法中的精确度为0.01时，表示要求所求区间(a，b)的长度|b－a|＜0.01，而精确到0.01，则表示要求所求区间(a，b)的端点a，b进位到百分位后为同一个数．高考热点突破►跟踪训练2．(1)若将例2中精确到0.1改为精确度为0.1，那又如何求解呢？(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经把根锁定在区间(1，2)内，则进一步可断定该根所在的区间为________．高考热点突破解析：(1)由例2解析中的表知|2.25－2.1875|＝0.0625＜0.1，∴函数在(2，3)上的零点是2.1875.(2)在(1，2)内取中点x0＝32，令f(x)＝x3－2x－1.∵f32＝278－4＜0，f(2)＝8－4－1＞0，f(1)＝－2＜0，根据零点存在定理，f(x)的零点在32，2内，∴方程x3－2x－1＝0的根可进一步判定在32，2内．答案：(1)2.1875(2)32，2高考热点突破突破点3函数的实际应用问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值．(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．高考热点突破思路点拨：认真审题，将文字语言抽象转化为建立函数模型．(1)由x＝5，y＝11，求得a的值．(2)构建利润函数关系，利用相关知识可求得．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2.高考热点突破所以商场每日销售商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10（x－6）2＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：高考热点突破由表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．高考热点突破(1)解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识：函数、导数、不等式解决数学问题，再回归到实际问题来解决．(2)找函数关系是关键，一定要准确理解题目意思，弄清题设条件，最终将之化为函数问题解决．高考热点突破►跟踪训练3．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(B)高考热点突破A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟解析：由图形可知，三点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，所以9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2t－1542＋1316，因为t＞0，所以当t＝154＝3.75时，p取最大值，故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间．故选B.高考热点突破突破点4一元二次方程根的分布关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．思路点拨：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．高考热点突破解析：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，①若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，∵f(0)＝10，则应有f(2)≤0,即f(2)＝22＋(m－1)×2＋1≤0，∴m≤－32.②若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解(包括两根相等)，则Δ≥0，0≤－m－12≤2，f（2）≥0，∴（m－1）2－4≥0，－3≤m≤1，4＋（m－1）×2＋1≥0.∴m≥3或m≤－1，－3≤m≤1，m≥－32.∴－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围为{m|m≤－1}．高考热点突破二次方程根的分布问题关键在于等价转化，其步骤为：(1)画出符合题意的图形；(2)按图列出限制条件[不等式(组)]；(3)解不等式(组)求出字母的取值范围．其中列出的不等式(组)与所画的图形之间要能等价转换．高考热点突破►跟踪训练4．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．解析：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得高考热点突破f（0）＝2m＋10，f（－1）＝20，f（1）＝4m＋20，f（2）＝6m＋50⇒m－12，m∈R，m－12，m－56.∴－56m－12.则实数m的取值范围为m－56m－12.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组高考热点突破f（0）＝2m＋10，f（1）＝4m＋20，Δ＝4m2－4（2m＋1）≥0，0－m1⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.∴－12m≤1－2.∴实数m的取值范围为m－12m≤1－2.高考热点突破1．要熟悉零点存在性定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)图象交点的横坐标．高考热点突破4．在研究函数与方程的问题时，经常用到数形结合法．5．要注意应用问题的实际意义．6．解决函数应用问题的基本方法是先建立函数关系式，再利用二次函数、均值不等式、判别式法、换元法、导数法或函数的单调性求函数的最值．