二次函数十大基本问题

中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！1第九讲：二次函数十大基本问题知识模块与方法知识模块一：二次函数的定义问题1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．（2）abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识、题型、方法例1：若xmmmy232)3(是二次函数，则m。变式练习：已知xmmmmy19922)972(，试讨论m分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数？课堂演练一：1.二次函数62)3(2xy的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。2.若y＝(m＋1)xmm2－3x＋1是二次函数，则m的值为__________．3.已知函数4312xxyx，则自变量x的取值范围是。4.某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设矩形的一边长为x米，所花费用为y元。则y与x之间的函数关系式为。5.已知函数xmmy232)12(，当m为何值时：（1）y是x的正比例函数，且y随着x增大而增大。（2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。（3）函数图象是开口向上的抛物线。中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！2知识模块二：二次函数的图象及其性质1.二次函数基本形式：2yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2yaxh的性质：左加右减。4.2yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！3二次函数图象的过点问题与交点问题中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。知识、题型、方法例2：已知抛物线xy2和直线mxy3都经过点（2，n）。（1）求m，n的值。（2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。变式练习：1．（2008，长春）已知，如图，直线l经过)0,4(A和)4,0(B两点，它与抛物线2axy在第一象限内相交于点P，又知AOP的面积为4，求a的值。第1题图第2题图2．（2008，辽宁大连）如图10，直线mxy和抛物线cbxxy2都经过点A(1，0)，B(3，2)．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式mxcbxx2的解集(直接写出答案)。课堂演练二：1．二次函数22xay的图象经过两点A（4，2），B（m，2），则m。2．若抛物线cxayx2与x轴的交点坐标是（1，0）则ca。3.已知函数)0(2aayx的图象与直线32xy交于点（1，b），则求a。4.如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．第4题图AOBPyxOyxBA中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！4二次函数图象的单调性问题：中考方法点拨：判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴2bxa，对称轴2bxa是二次函数单调性的分界点，即：1.当0a时，抛物线开口向上：在2bxa范围内，y随x的增大而减小；在2bxa范围内，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba。2.当0a时，抛物线开口向下：在2bxa范围内，y随x的增大而增大；在2bxa范围内，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba。知识、题型、方法例3：（2011，浙江舟山）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是。变式练习第2题图例4：（2008，山东东营）若A（1,413y），B（2,45y），C（3,41y）为二次函数245yxx的图象上的三点，则1,y2,y3y的大小关系是（）A．123yyyB．213yyyC．312yyyD．132yyy变式练习：1．（2011，广安）若二次函数2()1yxm．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=lB．mlC．m≥lD．m≤l2．（2011，浙江温州）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如第9题图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值xy例3图O11（1,-2）cbxxy2-1中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！5课堂演练三：1．当22x时，二次函数xy2的最小值是，最大值是。2．（2011，广东广州）下列函数中,当x0时y值随x值增大而减小的是（）．A．y=x2B．y=x－１C．y=34xD．y=1x3．（2011，山东聊城）下列四个函数图象中，当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）4.若A（－134，y1），B（－1，y2），C（53，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是。5.已知xmmmy2，当m时，它的图象是开口向下的抛物线，这时，当x时，y随x的增大而增大。二次函数图象的对称性问题：知识、题型、方法例5：（平面直角坐标系中点的对称问题）平面直角坐标系中的点P（3,-5），关于x轴对称的点1P的坐标为；关于y轴对称的点2P的坐标为；关于原点对称的点3P的坐标为。变式练习：在平面直角坐标系中，点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为；关于y轴对称的点的坐标为；关于原点对称的点的坐标为。例6：（2011，山东济宁）已知二次函数2yaxbxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x……01234……y……41014……点A（1x，1y）、B（2x，2y）在函数的图象上，则当112,x234x时，1y与2y的大小关系正确的是（）A．12yyB．12yyC．12yyD．12yy中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！6变式练习：1。已知抛物线cayx)1(2的图象如图7所示，该抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为（2，0），则A点坐标为。yOABx图72.（2011，嘉兴）如图8，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为。课堂演练四第4题图课堂演练四：1．已知点Myx,与点N3,2关于x轴对称，则x+y=。2.（－3，4）关于x轴对称的点的坐标为________，关于y轴对称的点的坐标为________，关于原点对称的坐标为__________。3．（2011，山东枣庄）抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是。（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；②函数2yaxbxc的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．4．（2010，日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.xy图8O11（1,-2）cbxxy2-1ABC中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！75．（2011，山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353则当x=1时，y的值为A。5B。-3C。-13D。-276.（2009，襄樊）抛物线2yxbxc的图象如图9所示，则一元二次方程02cbxx的两个根为。二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系问题中考方法点拨：（1）由抛物线开口方向确定a的正负；（2）由对称轴02abx（或0）确定b的正负；（3）抛物线与y轴交点纵坐标确定c的正负；（4）由对称轴12abx（或1）确定ba2的正负；（5）令1x观察图象可得cba的正负；同理可令1x，可得cba的正负；（6）取2x可得cba24的正负；取2x可得cba24的正负。注意：以上6条性质可以相互推导，也可以用推导出来的结论去推导另外的正确结论。知识、题型、方法例7：（2009，湖北黄石）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤课堂演练五：1。（2011，重庆）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A．a0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c0yxO3x=1图9111Oxy中考数学金牌名师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练存华模型思维解题法课程讲义自信激发潜能，勤奋铸就成功！82。（2010，湖北孝感）如图，二次函数2yaxbxc的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0。其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第2题图第3题图第4题图3。（2011，甘肃兰州）如图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240bac；（2）c1；（3）2a－b0；（4）a+b+c0。你认为其中错误．．的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个4。（2011，山东日照）如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分