概率论与数理统计_(复旦大学出版社)_总复习_南京财经大学朱玲妹老师的课件

总复习返回目录一.随机事件与概率1.事件之间的关系与运算事件的包含,事件的相等;事件的和(并);事件的积(交);事件的差;互不相容事件(互斥);对立事件.nmAP)((1)所有可能的试验的结果只有有限个；(2)每一个结果出现的可能性相同.2.古典概型)()()()(ABPBPAPBAP,,互不相容BA)()()()(2121nnAPAPAPAAAP)()()(BPAPBAP互不相容nAAA,,,21)()()()()()(BCPABPCPBPAPCBAP3.加法公式)()(ABCPACP,AB)()()(APBPABP)()()(ABPAPBAP对立事件)(1)(APAP;0)(PAAP0)(:注;1)(,SPS必然事件4.条件概率,乘法公式,事件的独立性)()()(APABPABP0)(AP条件概率)()()(ABPAPABP,0)(BP)()()(BAPBPABP,0)(AP)()()()(ABCPABPAPABCP)(21nAAAP)()()()(11213121nnAAAPAAAPAAPAP乘法公式),()()(BPAPABP)()(APBAP,独立与BA也独立与与与BABABA;;,,,,21相互独立nAAA)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP)()()()(2121nnAPAPAPAAAP事件的独立性,独立与BA互斥,AB)()()(BPAPBAP独立),()()(BPAPABP)()(APBAP)()()()()(BPAPBPAPBAP)()(1BPAP*互不相容(互斥)与独立是两个不同的概念试验E的样本空间是SnBBB,,,21组成样本空间S的一个划分.nkBPk,,2,1,0)(nkkkBAPBPAP1)()()(A任一个事件,0)(AP若niiikkkBAPBPBAPBPABP1)()()()()(5.全概率公式与贝叶斯公式Xvrd...Xvrc...)(xf）（初等函数或分段函数0)(xf1)(dxxf,2,1},{kxXPpkkXP1pkp2p1x2xkx,2,1,0kpk1kkp二.一维随机变量1.分布律1.密度函数),(xxxXPxF}{)(2.分布函数1)(,0)(*3FF)(xF分布函数的性质:RxxF,1)(0*1)()0(xFxF)(1}{1}{aFaXPaXP)0()(}{aFaFaXP2*F(x)是x单调不减的函数;4*F(x)至多有可列个间断点,且在其间断点处右连续,xdttfxF)()()()(xfxF)()(}{aFbFbXaPbxakkpbXaP}{badxxfbXaP)(}{0}{cXPxxkkpxF)(F(x)的图形是一条阶梯曲线,在处有跳跃间断点,跃度为;kpkxxF(x)是连续函数,在f(x)的连续点处,有3.求概率,2,1}{kpxXPkkdxxxfXE)()()(xf4.期望,方差kkkpxXE1)(kkkpxXE22)(dxxfxXE)()(22})]({[)(2XEXEXD)(XVar22)]([)(XEXE随机变量函数的数学期望1)()]([kkkpxgXgEdxxfxgXgE)()()]([),(XgY存在)]([XgE)(XgY})({)()1(yXgPyFY)()()2(yFyfYYelseyyhyhfyfXY0)()]([)(的反函数是)()(xgyh)(xgy处处可导，且),0)((0)(xgxg其中)),(),(max()),(),(min(gggg5.随机变量函数的分布(1)Y的所有可能取值;(2)取这些值的概率.),(~...xfXvrcX定理Y=g(X)是连续型随机变量,6.几个重要分布分布名称概率分布期望方差分布10XP01pqpqp110ppq二项分布),(~pnbXnpnpqnkqpCkXPknkkn,,2,1,0}{)(~XPoisson分布,2,1,0!}{kekkXPk分布超几何NNn1121NnNNNNNn几何分布p12pq分布名称概率分布期望方差),min(,,2,1,0}{nMkCCCkXPnNknMNkM,2,1}{1kpqkXPk222)(21)(xexf正态分布),(~2NX0,x2),(~baUX均匀分布其它01)(bxaabxf2ba12)(2ab分布名称概率密度函数期望方差)/1(~ExpX指数分布20001)(xxexfx),(~..pnbXvrNMpnkqpCCCCkXPknkknnNknMNkM,,1,0}{npknkknppC)1(ekk!说明及注意的问题:1*如何分析2*几个随机变量之间的关系:(1)N很大,n相对于N较小,(2)n较大,p很小,1)(2}{xxXP)()(}{abbXaP0)(51)(5xxxx，0)(105.00)(}{xxxxxxXP)1,0(~)1(NX3*正态分布查表),(~)2(2NX12}{aaXPabbXaP}{)1(~)1,0(~)3(22XNX),,(~)4(2NX),(~22abaNbaX三.二维随机变量,2,1,,},{jipyYxXPijji),.(..YXvrd,2,1,,0)1(jipij1)2(ijijp}{jyYPiijpjp),2,1(j}{ixXPjijpip),2,1(i1.联合概率分布,边缘分布}),{(AYXPijijpAyxji),(XYixxx211y2yjy11p12pjp121p22pjp2..........................................1ip2ipijp..........................................1p2pip1p2pjpipjp),.(..YXvrc,0),()1(yxf2),(Ryx1),()2(dxdyyxf),(~yxfdyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(}),{(DYXPDdxdyyxf),(),(),(00),(200yxfyxyxFyx(3)在f(x,y)的连续点(x0,y0)处yxyxF,,1),(0)1(),(,0),(lim),()3(xyxFxFy),(,0),(lim),(yyxFyFx1),(lim),(yxFFyx,0),(lim),(yxFFyx2.联合分布函数(2)F(x,y)是x和y的不减函数；),,()0,(),,(),0()4(yxFyxFyxFyxFF(x,y)是每个变量的右连续函数；(5)对任意实数a,b,c,d,(a≤b,c≤d)),(dbF),(daF),(cbF),(caF),(yxFxxyyijijp),.(..YXvrd),.(..YXvrc),(yxFxydsdttsf),(},{dYcbXaP0}{,2,1}{.jjijjiyYPippyYxXP)(),()(yfyxfyxfYYX0)(yfY3.条件分布},{yYxXP)()(),(yFxFyxFYX有,,Ryx}{}{yYPxXP4.随机变量的独立性则称随机变量X与Y相互独立.),.(..YXvrd),.(..YXvrcjiijppp),2,1,(ji)),((2Ryx)()(),(yfxfyxfYXX与Y相互独立W=g(X)与V=h(Y)相互独立g(·),h(·)是连续函数.的所有可能取值Z)1(取这些值的概率)2()()()2(zFzfZZ5.多维随机变量的函数的分布),(YXgZ,,),()(RzdxxzxfzfZRzdyyyzfzfZ,),()(和的分布,,)()()(RzdyyfyzfzfYXZ,,)()()(RzdxxzfxfzfYXZ卷积公式：X与Y相互独立}),({)()1(zYXgPzFZ),(~211NX),(~222121NYX),(~222NYX与Y相互独立),(~2iiiNX~Xi1niia).,(2121iniiiniiaaNni,,1X1,X2,…,Xn相互独立a1,…,an不全为零，),(2N,11niiXnX记),(~2nNXX2,…,Xn独立同正态分布}{kYXPkiikYPiXP0}{}{),,.(..YXvrd),,(~pnbX),(~pmbY),(~pmnbYX二项分布的卷积公式X与Y相互独立X,Y相互独立,分布函数分别是),(),(yFxFYX)(zFM),()(zFzFYX),max(YXM)(zFN)(1)(11zFzFYX),min(YXNzzFzFn,)()(maxzzFzFn,)(11)(minRzzfzFnzfn),()()(1maxRzzfzFnzfn),()(1)(1min当X1,X2,…,Xn是独立同分布,分布函数是F(x)6.随机向量的数字特征(1)数学期望dydxyxxfXE),()(dydxyxyfYE),()(11)(ijijipxXE1iiipxdxxfxX)(11)(ijijjpyYE1jjjpydyyfyY)(),(YXgZ)],([)(YXgEZEdxdyyxfyxg),(),(11),(ijijjipyxg)],([)(YXgEZE存在)],([YXgE(3)协方差和相关系数)]}([)]({[),Cov(YEYXEXEYX)()(),Cov(YDXDYXXY(2)随机变量函数的数学期望)(XYE)()(YEXE)()(XCECXE)()()(YEXEYXE,)(CCE)(1111niiniiXEnXnE)(2211nnXCXCXCE,0)(CD),()(2XDCCXD(4)性质)()()(2211nnXECXECXEC),()()(YEXEXYE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE),()()(YDXDYXD)()()()(2121nnXDXDXDXXXDniiniiDXnXnD12111X与Y相互独立,X1,X2,…,Xn相互独立)(YXD)()(YDXD),Cov(2YX)(ZYXD)()()(ZDYDXD),Cov(2),Cov(2),Cov(2ZX