概率论与数理统计§5.2 中心极限定理

§5.2中心极限定律中心极限定理的概念中心极限定理中心极限定理的应用小结练习引例考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.5.2.1中心极限定理的概念,.概率论中一般将关于随机变量序列和的标准化随机变量的极限分布是标准正态分布的定理统称为中心极限定理1111niinniiiinniiXXEXYDX即若的标准化随机变量221lim{}ed(),2πtxnnPYxtx满足{}nX则称服从中心极限定理.:中心极限定理的实质111nniiiinniiXEXYDX(0,1).N近似地服从标准正态分布1..~(0,1).nwknkXrvYN亦即的标准化（依分布收敛）,n当充分大时5.2.2中心极限定理1.独立同分布中心极限定理122,,,,,,(),()0(1,2,),niiXXXEXDXi设随机变量相互独立服从同一分布且具有数学期望和方差：则随机变量之和的111nniiiinniiXEXYDX标准化变量1niiXnn(Levy-Lindeberg)1()lim()limnniinnnFxxXnFxPxn的分布函数对于任意满足定理表明1~(0,1);niiXnNnxtxt).(deπ212221~(,)niiXNnnxtnnnxtxpnpnpPxppnn).(deπ21)1(lim,,)10(,),2,1(22恒有对于任意则的二项分布服从参数为设随机变量证明根据第4章第2节例题可知,1nkknX分布律为分布的随机变量－一是相互独立的、服从同其中,)10(,,,21nXXX1{}(1),0,1.kkiPXkppk2.德莫佛－拉普拉斯定理(),iEXp()(1)(1,2,,),iDXppin根据独立同分布中心极限定理得xpnpnpPnn)1(lim1lim(1)niinXnpPxnppxtxt).(deπ2122定理表明正态分布是二项分布的极限分布.当n充分大时,可利用正态分布来近似地计算二项分布的概率.5.2.3中心极限定理的应用1.二项分布概率的近似计算~(,),nbnp设则12{}nPxx12(1)kknknxkxCpp12(1)(1)(1)nnpxnpxnpPnppnppnpp当n很大时,直接计算很困难.根据德莫佛--拉普拉斯中心极限定理,可用正态分布来近似计算.12{}nPxx21.(1)(1)xnpxnpnppnpp例1设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，试求夜晚同时开着的灯数在6800~7200盏之间的概率.解令X表示在夜晚同时开着的灯数，则~(10000,0.7)Xb分布律为}{kXP10000100000.70.3,kkkC0,1,,10000.k所求概率为{68007200}PX7200100001000068000.70.3.kkkkC直接计算很麻烦,利用德莫佛－拉普拉斯中心极限定理来近似计算.72006800(1)(1)npnpnppnpp10000,0.7,np{68007200}PX2002145.83{68007200}PX72006800(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp24.3610.99999.注：与切比雪夫不等式估算的结果相比较--精确得多一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,.)31,00090(~bX且例2利用德莫佛－拉普拉斯中心极限定理来近似计算.3050029500(1)(1)npnpnppnpp,31,90000pn{2950030500}PX225225.9995.0{2950030500}PX2950030500(1)(1)(1)npXnpnpPnppnppnpp某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,则~(,),Xbnp10000,0.017,np其中由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理知,例3}2001000010000{XP}200{XP)1(200)1(pnpnppnpnpXP321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1保险公司亏本的概率2.用频率作为概率的近似值的误差估计由伯努利大数定律可知lim1.AnnPpn根据德莫佛—拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，有AnPpn(1)(1)AnnpnPppnpp(1)(1)nnpppp21,(1)nppAnPpn或1AnPpn21.(1)npp注：用这个关系式可解决许多计算问题.重复掷一枚质地不均匀的硬币,设在每次试验中出现正面的概率p未知.试问要掷多少次才能使出现正面的频率与p相差不超过1/100的概率达95%以上？例4解由题意,要求n,使10.95100nPpn即20.0110.95(1)npp1100nPpn即0.010.975(1)npp(1.96),即0.011.96,(1)npp即22196(1),npp而1(1),4pp1(1),4pp当时2211969604.4n所以,要掷9604次以上才能使出现正面的频率与概率相差不超过1/100的概率达95%以上.两个中心极限定理独立同分布中心极限定理德莫佛－拉普拉斯中心极限定理中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布.小结1111.lim().lim().lim().lim()nniiiinnnniiiinnXnXnAPxxBPxxnnXnXCPxxDPxxnn12,,,,,(0),nXXX设为独立同分布的随机变量序列且服从参数为的指数分布则一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.解设X是损坏的部件数，则X~b(100,0.1).则整个系统能正常工作当且仅当X15.由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有1000.1151000.1{15}1000.10.91000.10.9151000.150.952.31000.10.9XPXP某螺丝钉厂废品率为0.01，问一盒中应装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于100个的概率不少于0.95？103645.101.099.010099.095.001.099.099.01001}100{95.0}100{nnnnnXPXP，，：由中心极限定理100,n令B(n,0.99);~则X其中有X个合格品。设应装n个螺丝钉解