等腰三角形新文件学生版 2

1第十六章等腰三角形第一节轴对称图形知识点：轴对称图形与轴对称1.（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴（说明：轴对称图形的对称轴可以是一条，可能是多条或无数条）。（2）轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点叫做对称点。2.轴对称性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。【经典题型1】轴对称图形【例1】（2012•遵义）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A．B．C．D．【例2】（2012•重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【例3】（2011•宜昌）如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（）A．轴对称性B．用字母表示数C．随机性D．数形结合2【例4】（2013•凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为练习:（2012•丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．①B．②C．⑤D．⑥【例5】下列说法错误的是（）A．等边三角形有3条对称轴B．正方形有4条对称轴C．角的对称轴有2条D．圆有无数条对称轴【例6】（2009•宁夏）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【巩固练习】1．（2012•宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．2．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入号球袋．3.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A．B．C．D．34.（2012•锦州）下列各图，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5.（2008•怀化）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（）A．B．C．D．6.（2006•南平）如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．W17639B．W17936C．M17639D．M17936【经典题型2】轴对称的性质【例1】（2010•淄博）如图，△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的，则这个变换过程是（）A．平移B．轴对称C．旋转D．平移后再轴对称例题1图例题2图【例2】（2010•黔南州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．12C．24D．30【例3】（2012•西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）4A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形【例4】在如图所示的4×4正方形网格中．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=度．【例5】（2010•宜昌）如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（）A．AB=A′B′B．BC∥B′C′C．直线l⊥BB′D．∠A′=120例5图例6图【例6】（2009•黄冈）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°【例7】（2009•鄂尔多斯）如图，点A和点B相距60cm，且关于直线l对称，一只电动青蛙在距直线20cm，距点A为50cm的点P1处，按如下顺序循环跳跃：青蛙跳跃2011次后停下，此时它与直线l相距（）5A．20cmB．40cmC．60cmD．80cm【例8】（2008•武汉）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（）A．150°B．300°C．210°D．330°（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）【巩固练习】1.（2007•河南）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°2.（2012•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）6【经典题型3】关于坐标轴对称的点的坐标【例1】（2012•孝感）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（-2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A．（-3，2）B．（2，-3）C．（1，-2）D．（3，-1）【例2】（2012•十堰）点P（-2，3）关于x轴对称点的坐标是（）A．（-3，2）B．（2，-3）C．（-2，-3）D．（2，3）【例3】点P（-1，-3）关于x轴的对称点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【例4】已知点P1（a-1，5）和P2（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2011的值为（）A．0B．-1C．1D．（-3）2011【例5】若|a-4|+（b-3）2=0，则A（a，b）关于y轴对称点的坐标为【例6】如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．【巩固练习】1.（2009•钦州）点P（-2，1）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（-2，-1）B．（2，1）C．（2，-1）D．（-2，1）2．点A（a，-2）关于x轴对称的点B的坐标为（1，b），则a+b的值等于（）A．1B．-1C．-3D．33.已知点A（m-1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（）A．-1B．-7C．1D．74.若P关于x轴的对称点为P1（2a+b，-a+1），关于y轴对称的点为P2（4-b，b+2），则P点的坐标为7【经典题型4】轴对称最短路线问题【例1】已知点M（4，3）和N（1，-2），点P在y轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，-1）D．（-1，0）【例2】（2013•鄂尔多斯）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．（2012•兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【例3】（2007•山西）如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．【例4】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）8A．B．C．D．【经典题型4】翻折问题【例1】如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC交于点G，点D、点C分别落在D′、C′位置上，若∠EFG=52°，则∠BGE=（）A．92°B．100°C．104°D．76°例题1图例题2图【例2】如图，△ABC中，∠A=30°，∠A沿DE折叠后，A点落在△ABC的内部A′的位置，则∠1+∠2=．【例3】如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=例3图例题4图【例4】（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°9第二节线段的垂直平分线1.定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。2.性质1）线段中垂线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。2）线段中垂线性质定理逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。可以通过全等三角形证明。3.作法1）在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。2）分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。3）连接这两个交点。说明：也可以用这种方法作线段的中点【经典例题1】线段垂直平分线的性质【例1】1.（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC2.（2009•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为3.（2008•孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．104.如图所示，在△ABC中，∠BAC=135°，EF、GH分别是AB、AC两边的垂直平分线，与BC边交于点E、G，求∠EAG的度数．【例2】1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为40°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。2.（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于【例3】1.（2013•泰州）如左下图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为2.如右上图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于3.（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．【例4】1.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的