25、玻尔兹曼方程-金属的电导过程

第1页第六章自由电子论和电子的输运性质Page1输运现象如果系统中存在像温度、浓度、电势等强度量的不均匀性，那么将导致像能量、粒子数、电荷数等的流动，这就是输运现象。假定沿晶体的某个方向存在温度梯度、浓度梯度、电势梯度，则输运过程中的热流通量、粒子流通量、电流通量与相应的梯度通过如下唯象关系相联系：§6.3玻尔兹曼方程EJnDJTKJenu热流通量粒子流通量电流通量输运理论的任务就是要从微观上提揭示这些唯象系数与内禀性质的关系。DK称为热导系数、扩散系数和电导系数。这就是所谓的热导、扩散、和电导现象。第2页第六章自由电子论和电子的输运性质Page2唯象方程的形式意味着输运过程是一个扩散过程。§6.3玻尔兹曼方程金属的电导过程经典的电子气电导理论描述：金属中自由电子在外加电场作用下加速电子受到来自同金属离子碰撞而表现为阻尼力，阻尼力的大小与速度成正比。达到电流稳定时，电场力和阻尼力相平衡，电子达到其在电场中获得的稳定速度，即附加的漂移速度漂移速度与电场成正比，从而解释欧姆定律。第3页第六章自由电子论和电子的输运性质Page3索末菲的电子气量子理论同样能给出欧姆定律，并能更深刻地描绘电导过程的物理图像。在量子理论里电子的状态是以波矢k来表征的，在电场中电子态的改变是以k的变化来描述的。电子的动量为§6.3玻尔兹曼方程kp电子的动量或波矢k在外场中的变化规律与经典物理一样BvEedtdkdtdp)(1kEdtdrvk与外场相关决定于体系的能带结构第4页第六章自由电子论和电子的输运性质Page4§6.3玻尔兹曼方程阻尼力的微观机制是金属中能使电子平面波遭受散射的各种因素，主要是晶格振动和各种晶体缺陷、杂质。不同状态的电子有不同的速度，它们对电导的贡献是不同的，所以必须考虑电子的分布函数。在外场下，将是非平衡的分布函数建立确定非平衡分布函数的方程－－玻尔兹曼方程，解决上述问题。第5页第六章自由电子论和电子的输运性质Page5§6.3玻尔兹曼方程一、非平衡分布函数)1(1exp1)(0TkEEEfBFk温度均匀，无外场条件下，电子气在热平衡时的分布函数－－费米分布考虑晶体的能带结构以及电子按能量分布，电导公式为分布与电子位置r无关。)2()()(223dkkfkveJef（k）是k波矢空间的分布函数。如果分布函数f(k)不受电场E的影响，仍然维持平衡态下的分布函数，那么，由)()(kEkE第6页第六章自由电子论和电子的输运性质Page6§6.3玻尔兹曼方程)3(),(),(00TkfTkf)4(0)()(223dkkfkveJe得到即分布函数对于k是对称的。如图虚线所示。另外，由)()(kvkv它对于k是反对称的，因此，由（2）式即平衡态下，电流为0。（a）分布函数在外场下的变化（b）费米球在外场下的漂移第7页第六章自由电子论和电子的输运性质Page7§6.3玻尔兹曼方程实际上，在外场作用下，电子在k空间将以恒定的速度沿－E（电场）方向漂移。如图实线所示。显然对于非平衡分布函数有)1(BvcEedtdkdtdvmFeEk)5(),(),(TkfTkf（a）分布函数在外场下的变化（b）费米球在外场下的漂移它不再是k的对称函数，假定外场并不影响能带结构，仍有)()(kvkv第8页第六章自由电子论和电子的输运性质Page8§6.3玻尔兹曼方程那么这时就有电流在晶体中流动。)6(0)()(223dkkfkveJe除了点阵周期势对电子的散射外，下列因素是电阻产生的主要原因：晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是温度的函数；晶体中的缺陷和杂质对电子的无规律散射。第9页第六章自由电子论和电子的输运性质Page9§6.3玻尔兹曼方程因此，在整个电导过程中一方面，电子在外场中被加速，使系统偏离平衡态另一方面，电子受到无规散射，使电子失去在外场中获得的定向运动，这种不可逆的因素产生两种效应：能量耗散使系统趋于平衡。这样，在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用就可以使体系处于一种定态。假定碰撞的平均驰豫时间为那么分布函数大约偏离平衡态eE得到一个非平衡的定态分布函数。恢复平衡所需时间----平均驰豫时间的意义第10页第六章自由电子论和电子的输运性质Page10§6.3玻尔兹曼方程二、玻尔兹曼方程通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法通常称为分布函数法。在非平衡统计理论中，通过分布函数来研究输运过程的一个主要方法就是列出粒子状态的分布函数的方程－－－玻尔兹曼方程，并由此求出分布函数。确立了非平衡态分布函数f(k),就可以直接计算电流密度。模型假设：近平衡态假设：系统中每个宏观小、微观大的区域已达到平衡，但整个系统仍处于非平衡态第11页第六章自由电子论和电子的输运性质Page11§6.3玻尔兹曼方程考虑分布函数的变化)7(漂碰tftftf在粒子数守恒条件下，分布函数的总变化率为漂移项：温度梯度、密度梯度和外场引起的分布函数变化。漂tf电子因受碰撞散射引起的分布函数变化－碰撞项碰tf),,(trkf假设电子分布不随时间变化而处于稳定状态0tf)8(0碰漂tftf外场与散射的作用相互抵消。第12页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.3玻尔兹曼方程),(dtkkvdtrt时刻在（r,k）附近单位体积中的电子是由t-dt时刻在处单位体积中的电子漂移而来的，即)9(),,(),,(dttdtkkvdtrftkrf漂移漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂移的结果。),,(dttdtkkvdtr),,(tkr第13页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.3玻尔兹曼方程实际上，碰撞也使分布函数发生改变，称为散射项，所以有)10(),,(),,(碰tfdttdtkkvdtrftkrf)11(碰tffkfvtfk将上式右边第一项展开(多元展开)，只保留与dt成正比项，得方程左边两项分别为温度梯度和外场梯度引起的漂移项。对于稳态情况，分布函数不随t变化，便得到电子气系统的玻尔兹曼方程：)12(碰tffkfvk第14页第六章自由电子论和电子的输运性质表示在单位时间由的散射几率§6.3玻尔兹曼方程假定碰撞kk),(kk碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布，由于声子或杂质的散射，电子可以从跃迁kk表示在单位时间由的散射几率),(kkkk在单位时间由态散射到所有自旋相同的的净减几率为kk)13(),(),,(1),,(213akdkktrkftrkf),,(1trkf表示末被占据的几率ka表示为单位时间中由于碰撞离开（r,k）处单位体积的电子数第15页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.3玻尔兹曼方程在单位时间由所有态散射到的净增几率为kk)14(),(),,(1),,(213bkdkktrkftrkf两部分之差就是由于碰撞导致的分布函数的变化：同样)15(abtf碰得到定态玻尔兹曼方程b表示为单位时间中由于碰撞进入（r,k）处单位体积的电子数)16(abfkfvk本节结束第16页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率一、驰豫时间近似玻尔兹曼方程比较复杂，求解困难，主要在于碰撞项。为了求解方便，我们作一些简化。)17(10fff对于碰撞项，采用驰豫时间近似，当外场取消后，系统经厉时间恢复到平衡分布，分布函数由驰豫时间决定：)18(0fftf负号表示随时间增长，偏离平衡程度减小，上式有解：)19()0(110tetffff假定非平衡的稳态分布离平衡分布不远，f可写成：第17页第六章自由电子论和电子的输运性质系统平衡时的的费米分布函数)0(1tf系统在t=0时分布函数是系统恢复平衡的驰豫时间，反映碰撞对分布函数的影响。考虑到不同的k态回复的差异，它应该是k的函数。0fftf碰BvEek利用)20()(10fffBvEefkEkk0f玻尔兹曼方程可写为§6.5金属的电导率)12(碰tffkfvk)(1kEvk第18页第六章自由电子论和电子的输运性质小结：没有外场或温度梯度，系统不会离开平衡分布；有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止地漂移。没有碰撞，系统不会从非平衡分布恢复到平衡分布；有了碰撞机制，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而达到稳定的分布。§6.5金属的电导率第19页第六章自由电子论和电子的输运性质二、金属电导率电导率公式设金属处于恒温下，在外电场E作用下形成稳定的电流密度j。此时玻尔兹曼方程为：)20()(10fffBvEeTfTkEkk)22(00fEeffk通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差4个量级。这时可认为f偏离平衡分布不大，于是有)21(0fEeffk§6.5金属的电导率第20页第六章自由电子论和电子的输运性质)22(00fEeffk§6.5金属的电导率由于f0是能量E（k）的函数：)(1)()23()()(000kEkvkvkEfEEffkkk（22）式可写为：)22()(00kvEkEfeff知道分布函数表达式，就可计算电流密度：)24()()()(4)()(220033dkkvEkEfefkvedkkfkveJe第21页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率)24()()()(4003dkkvEkEfefkveJe由于)()()()(kvkvkEkEnn所以f0是k的偶函数；v(k)是波矢k的奇函数，这样有0)(0dkfkv)24()()()(4032dkkvkvEkEfeJe利用计算态密度时，将对k空间中的体积积分改成在等能面上积分的技巧第22页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率)24()()()(4032dkkvkvEkEfeJe利用计算态密度时，将对k空间中的体积积分改成在等能面上积分的技巧图中所示体积元为dSdkdk由于dkEdEk所以EdSdEdSdkdkk电流密度为)25()()()(4032EdEdSkvkvEkEfeJke第23页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率这里f0是平衡分布，而)25()()()(4032EdEdSkvkvEkEfeJke)()(0FEEkEf于是电流密度就简化为在费米面上的积分)26()()(432FSkFeEdSkvkvEeJ对于立方晶体，若电场沿x方向，电流也沿ox方向，则上式为)27()(4232FSxkFxEEdSkveJ第24页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率)27(4232xSxkFxxEEEdSveJF立方结构的金属的电导率为)28()(4232FSkFxEdSkve由于对称性2231vvx又vEk所以)29(12123FSFvdSe第25页第六章自由电子论和电子的输运性质§6.5金属的电导率由此可见对金属电导有贡献的只是费米面附近的电子，它们可以在电场作用下进入能量较高的能级电导率同驰豫时间和费米面处能级