1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

§1.4.2正弦余弦函数的性质（一）（1）定义域,值域（2）周期性（4）最值（3）奇偶性（5）单调性（6）对称性与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象的最高点图象的最低点)1,(23与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(五点作图法2oxy--11-13232656734233561126oxy--11--13232656734233561126)1,2(知识回顾:注意：函数图像的凹凸性！2,0,sinxxy2,0,cosxxyx6yo--12345-2-3-41正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线x6yo--12345-2-3-41余弦曲线同理y=sinx(xR)y=cosx(xR)探究：观察正弦曲线和余弦曲线，你有什么规律可以发现？1.定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数cosyx定义域：R值域：[-1，1]|sin|1|cos|1≤≤xx结论：象这样一种函数叫做周期函数.（1）正、余弦函数的图象是有规律地不断重复出现的；（3）这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx，cos(2k+x)=cosx可以说明.（2）规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k，kZ重复出现）；2.周期性:1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数概念非零常数T叫做这个函数的周期:1.,()()().sin()sin,424fxTfxTyfxxx例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如2sin()sin,sin.22xxxyx就是说不能对在定义域内的每一个值使因此不是的周期sin()sin.323但是3oyx4π8πxoy6π12π如果T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)正弦函数、余弦函数的图象y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41性质：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx都是周期函数，且它们的周期为，)0,(2kzkk但最小正周期是22.周期性:说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。例1、求下列函数的周期：cosx是以2π为周期的周期函数.解:(1)∵对任意实数有RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx(3)112sin()2sin(2)262612sin(4),26xxx12sin()26yx是以４π为周期的周期函数．sin(2)sin(22)sin2(),sin2xxxyx是以π为周期的周期函数.(2)2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy函数周期)621sin(2xy2TT4T4T212sin(),cos(),(,,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT一般地，函数及函数其中为常数且的周期为归纳总结练习：求下列函数的周期课堂练习：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(,cos21)3(,4cos)2(,43sin)1(38342432T242T212T632312T当堂检测（1）下列函数中，最小正周期是的函数是（）2cos21sinxyBxyA、、xyCcos、xyD2cos、（2）函数)2sin(xy的最小正周期为_____。0),3sin(xy3___（3）已知函数的周期为，则D262T32T2.已知函数的周期是4，且当时，，求()yfx2()1fxx(1),(5),(16).fff]2,2[x思考：的周期？（求函数),sin)(.1Rxxxf.T由图像得，f(1)=2,f(5)=2,f(16)=11.定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.2.性质:3.判断函数奇偶性的步骤①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；知识回顾：4、根据奇偶性函数可划分为四类:奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数。正弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.奇偶性x22322523yO23225311x22322523yO232253113.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数y=sinxy=cosx奇偶性奇函数偶函数好的东西一定要奔走相告成功体验想一想.cossin(3)2cos(2)2sin(1).xxy;xyx;y奇偶性练习：判断下列函数的（1）（2）()sin()fxx)2sin()(xxf---先化简、再判断探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO232253114.最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO232253114.最值x6o--12345-2-3-41y当且仅当）时，，（Zkkx22；1)(sinmaxx当且仅当）时，，（Zkkx22.1)(sinminx当且仅当）时，，（Zkkx2；1)(cosmaxx当且仅当）时，，（Zkkx2.1)(cosminx4、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41)(sinRxxy)(cosRxxy例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|2,}xxkkZ使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合cos1,yxxRcos,yxxR{|(21),}xxkkZ函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyxxR(1);(2)解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR{|2,}2ttkkZ222xtk由4xk得所以使函数取最大值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ同理，使函数取最小值的x的集合是3sin2,yxxR{|,}4xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。3sin2,yxxR(1)了解定义域、值域；小结会求及的周期;；(2)了解周期函数的定义及正（余）弦的周期，RxxAy),sin(RxxAy),cos(2T(3)掌握正、余弦函数的奇偶性；(4)会求最值（注意x的取值集合）。