1.4二次函数与一元二次方程的联系

二次函数与一元二次方程的联系本课内容本节内容1.4问题1:画出二次函数的图象，你能从图象中看出它与x的交点吗？223yxx探究（-1,0）（3,0）2230xx问题2:二次函数与一元二次方程有怎样的关系？223yxx问题1:画出二次函数的图象，你能从图象中看出它与x的交点吗？223yxx探究（-1,0）（3,0）2230xx问题2:二次函数与一元二次方程有怎样的关系？223yxx当x=-1时，y=0,即，也就是说x=-1是一元二次方程的一个根.2230xx2230xx同理，当x=3时，y=0,即，也就是说x=3是一元二次方程的一个根.2230xx2230xx一般地，如果二次函数的图像与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),那么一元二次方程有两个不相等的实根x=x1,x=x2.2(0)yaxbxca结论002acbxax问题3:观察二次函数和的图象，分别说出一元二次方程和根的情况.222yxx269yxx2690xx2220xxb2–4ac＞0b2–4ac=0b2–4ac＜0Oxy二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点如下图所示,则b2-4ac的情况如何？.2(0)yaxbxca20(0)axbxca有两个不等实根与x轴有两个不同的交点有两个相等实根与x轴有两个重合的交点无实根与x轴没有交点Δ0Δ=0Δ0一元二次方程的根就是二次函数是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由图象求根一般是近似的.20(0)axbxca2(0)yaxbxca例求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）2210xx分析一元二次方程的根就是抛物线与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图像上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.2210xx221yxx解：设二次函数221yxx作出函数的图像，如图,可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点横坐标约为-0.4和2.4，即一元二次方程的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4.221yxx2210xx借助计算器来分析所求方程的实数根：x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1当x=-0.5时，y=0.250;当x=-0.4时，y=-0.040.结合图象可知，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5x-0.4.若精确到0.1，取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.但当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4.同理，另一实根为x=2.4.例如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？268-10105xyx解（1）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.2682.1-10105xx2650xx12=1=5.xx，（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.2682.5-10105xx2690xx12==3.xx（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.2683-10105xx26140xx2=-6-41140（），（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.2(0)yaxbxcayM2=axbxcM做一做1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况：2(1)2y=xx2(2)9124y=xx2(3)23y=xx2(1)41(2)9021249402(2)41380有两个不同的交点有两个重合的交点没有交点2.用图象法求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.210xx解：设二次函数21yxx作出函数的图像，如图,可以发现抛物线与x轴的一个交点在-2和-1之间，另一个交点在0和1之间.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点横坐标约为-1.6或0.6，即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.21yxx210xx21yxxxy利用数学软件可以更精确的做出函数的图像，从而更精确的求出方程的根.21yxx3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月份）之间的关系.试根据图像提供的信息，回答下列问题：（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？（2）求截止到几月末，公司累计利润可达30万元？（3）该公司第8个月末所获利润是多少？2122y=xx亏损4个月；5月末开始赢利213022=xx12=10,=-4xx解得(舍）10月末21828162y=16万元中考试题例1已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．22yxxm22=0xxmOxy13解析由图象知二次函数与x轴的交点的一个交点是（3，0），与对称轴x=1的距离是2，根据对称性，另一个交点与x轴的距离也是2，故另一个交点为（-1，0），所以方程的解为x1=3,x2=-1.22=0xxmx1=3,x2=-1一元二次方程与二次函数的联系2(0)yaxbxcayM2=axbxcM小结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根有两个重合的交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0