2008-2011江苏高考数学试卷--答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P3.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵21112iiii，∴a＝0，b＝1，因此1ab4.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37xx得2580xx,∵Δ＜0，∴集合A为，因此AZ的元素不存在．5.【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．2222552510ababaabb=22125110133492，5ab76.【答案】16【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．214416P7.【答案】6.428.【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1yx，令112x得2x，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．9【答案】11cb【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11cb．事实上，由截距式可得直线AB：1xyba，直线CP：1xycp，两式相减得11110xybcpa，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．10．【答案】262nn【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn．11.【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x＝3z时取“＝”．12.【答案】22【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea．13．【答案】22【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得ABCS=21sin1cos2ABBCBxB，根据余弦定理得2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得222222x，故当22x时取得ABCS最大值2214.【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，fx≥0显然成立；当x＞0即1,1x时，331fxaxx≥0可化为，2331axx设2331gxxx，则'4312xgxx，所以gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而a≥4；当x＜0即1,0时，331fxaxx≥0可化为a2331xx，'4312xgxx0gx在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而a≤4，综上a＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由已知条件及三角函数的定义可知，225cos,cos105，因为,为锐角，所以sin=725,sin105因此1tan7,tan2（Ⅰ）tan()=tantan31tantan（Ⅱ）22tan4tan21tan3，所以tantan2tan211tantan2∵,为锐角，∴3022，∴2=3416．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵E,F分别是AB,BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD．（Ⅱ）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD．17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan10－10ta，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．解：（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令220fxxxb，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令y＝0得20xDxF这与22xxb＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．令x＝0得2yEy＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为222(1)0xyxbyb.（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0（1）(i)当n=4时,由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3①若删去2a，则由a1,a3,a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d≠0，故由上式得a1=－4d，即da1=－4，此时数列为－4d,－3d,－2d,－d，满足题设。②若删去a3，则由a1,a2,a4成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)因d≠0，故由上式得a1=d，即da1=1，此时数列为d,2d,3d,4d，满足题设。综上可知，da1的值为－4或1。(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上可知，n只能为4.（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+d′,……，b1+(n-1)d′(b1d′≠0)，其中三项b1+m1d′,b1+m2d′,b1+m3d′成等比数列，这里0≤m1m2m3≤n-1，则有(b1+m2d′)2=(b1+m1d′)(b1+m3d′)化简得(m1+m3-2m2)b1d′=(22m-m1m3)d′2(*)由b1d′≠0知，m1+m3-2m2与22m-m1m3或同时为零，或均不为零。若m1+m3-2m2=0且22m-m1m3=0，则有231)2(mm-m1m3=0，即(m1-m3)2=0，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾。因此，m1+m3-2m2与22m-m1m3都不为零，故由（*）得2313122'12dmmmmmmb因为m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而'1db是一个有理数。于是，对于任意的正整数n≥4,只要取'1db为无理数，则相应的数列b1,b2,……,bn就是满足要求的数列，例如,取b1=1,d′=2，那么，n项数列1,1+2,1+22,……,1(1)2n满足要求。20.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．（Ⅰ）1fxfx恒成立12fxfx12323xpxp123log233xpxp1232xpxplog（*）因为121212xpxpxpxppp所以，故只需12pp32log（*）恒成立综上所述，1fxfx对所有实数成立的充要条件是：12pp32log（Ⅱ）1°如果12pp32log，则的图像关于直线1xp对称．因为fafb，所以区间,ab关于直线1xp对称．因为减区间为1,ap，增区间为1,pb，所以单调增区间的长度和为2ba2°如果12pp32log.（1）当12pp32log时.111113,,3,,xppxxpbfxxap，2323log222log223,,3,,xppxxpbfxxap当1,xpb，213log2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx，故1fxfx=13xp当2,xap，123log2102331,ppfxfx因为120,0fxfx，所以12fxfx故2fxfx=23log23px因为fafb，所以231log233pabp，所以123log2,bppa即123log2abpp当21,xpp时，令12fxfx，则231log233xppx，所以123log22ppx，当1232log2,2ppxp时，12fxfx，所以2fxfx=23log23xp1231log2,2ppxp时，12fxfx，所以1fxfx=13pxfx在区间,ab上的单调增区间的长度和12312log22ppbpp=123log2222ppabbabb（2）当21pp32log时.111113,,3,,xppxxpbfxxap，2