初中数学竞赛辅导资料(24)-10

初中数学竞赛辅导资料（24）连续正整数的性质甲内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1.n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）2n（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)21ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759（∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四.计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五.连续正整数的积从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘1.n个连续正整数的积能被n！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。2.n！含某因质数的个数。举例如下：①1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中4＝22含两个质因数2增加了1个其中8＝23含三个质因数2再增加2个②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中125＝53含三个5再增加2个∴积中含质因数5的个数是32乙例题例1.写出和等于100的连续正整数解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，19＋21，18＋22得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例2.一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：1234……99100。问：①它是一个几位数？②它的各位上的数字和是多少？③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。例4.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？解：∵121＝11，144＝12∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x122;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。例5.已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a)即x(x+1)=222a（1）把222分解质因数得x(x+1)=2×3×37a（2）∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9由（1）可知a可能是1，3，5，6，8分别代入（2）只有6适合x(x+1)=36×37答所求的连续正整数是36和37丙练习241.除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n位数有____个。2.从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。3.由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。4.把由1开始的正整数依次写下去，直写到第198位为止，位198123那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题)5.已知a=1199011111个,b=9199099999个那么①ab=______________②ab的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)6.计算连续正整数的平方和的个位数：①12+22+32+……+92和的个位数是_______②12+22+32+……+192和的个位数是______③12+22+32+……+292和的个位数是______④12+22+32+……+392和的个位数是______⑤12+22+32+……[phone]和的个位数是＿＿＿＿＿＿（1990全国初中数学联赛题)7.写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：____________，_________________，_____________________。8.连续正整数的积1×2×3×4×…×100这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。9.恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数是多少？(1990年全国初中数学联赛题)10..设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是()(A)15116(B)15129(C)15144(D)1537611.计算：①2+4+6+…+100=②1+4+7+10+…+100=③+10+15+…+100=12.有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。13.一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题)提示：先求积中含质因数5的个数丙练习24参考答案：1.30，300，3×10n-12.475个，317个3.2893，135014.102，906，65.①988880111119891989个个②1990×96.5，0，5，0，57.39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3……158.24，249.1710.（B）11.①2550，②1717，③105012.∵小于20的正整数中有10个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有10抽屉，11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。这一串数是除以3余1的正整数，我们来计算含质因数5的个数：能被5整除且除以3余1的正整数是10，25，40，……700，先各算1个能被52整除且除以3余1的正整数是25，100，175，…700，各多算1个能被53整除且除以3余1的正整数是250，625，再各加1个，能被54整除且除以3余1的正整数是625，再加1个，共含有60个5答积的尾部共有零60个（上述可用式子表示：315k，3125k，31125k，31625k的整数值）