数列证明题的解题方法

数列中解答中的不等式——放缩法1nS2111n2nnnnnnnnnnaSaabBBaa一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：12nan)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn答案：1{}nnnaaafn先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．2221112{}n,2(141222nnnnnnnnnnnaSaaSaaSSSSSS二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为且）求证：求证：42)1(212)1(21222nnnaannnnS提示：1)1(nnnn212)1(2nnnn用放缩法证明数列中的不等式问题，判断证明的方向是至关重要的，决定到解题的思路和方向，因此一定要熟记常见的放缩法证明的结论的特点，本题的要证明的结论是一个等差数列前n项和的形式，所以放缩应该放所为等差数列，请同学们结合下面要将的方法仔细比较分析加以区别。*2179822()(1)1n21n13nnnnnnnnnnnanaaaaaaaAAAAabbBBaN2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设，，，证明：；（2）等比数列中，，前项的和为，且，，成等差数列．设，数列前项的和为，证明：n为奇数时n为偶数时提示：nnnnnnb231)2(41)21(141第二小题要证明的不等式右边是一个常数，在我们学过的所有n项和为常数的数列中有各项为正的等比数列，公比小于1，前n项和的极限就为常数，所以见到要证明的结论为常数的题，首先要考虑放缩成一个各项为正公比小于1的等比数列。其次就是裂项求和的结果，后面会有介绍。*3,(,0)b111.pqb232.p2q12mnnnmnaapnqnNpbam例.设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整n,是使得不等式成立的所有n中的最小值。若，，求若，，求数列的前项和的公式；*m*m1232132m1242m2mk-bkkNm=2kbk1kNbbb++b()bbbm2mmbbb当=21时，当时，所以提示：*n112n2n1nnn123nnn1nn2nnn2a a4a4a4aabnNa1bbb2cbbScn17n113bb6417nS例.已知，，，，求，，的值。设，为数列的前项和，证明：求证：1231772b4bb417，，答案与提示n1nnnn1b4n2b4c4b117b因为，，所以所以nn1n1nnn1bbbbbb2nnn1nbbbb和有什么联系？第二问待证明的不等式右边是17n，一个数列的n项和为17n，首先就要考虑把各项放缩成17，n项和就为17n，第二项待证明的结论是等比数列前n项和的形式，所以要想办法把它化成n个因式和的形式，这也是本题的一个难点，然后放缩成一个等比数列，求和就可以了。nnnnuMnNuBIBSBBSBS*nnnnnnnn  uuuuuuM.                  1121012例.对于数列{}若存在常数，对任意的，恒有则称数列{}为-数列首项为1，公比为-的等比数列是否为-数列？请说明理由;设是数列{x}的前n项和。给出下列两组判断：A组：①数列{x}是-数列。②数列{x}不是-数列。③数列{}是-数列。④数列{nnBaa(){}B{}B2}不是-数列。请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；Ⅲ若数列是数列，证明：数列也是数列。nnnnnnnnnnnnnSnaSabnNaabncbbnNcnTnT221141232例.设数列的前项和为对任意的正整数，都有=5+1成立，记求数列与的前项和公式记，设数列的前项和为，求证：对于任意正整数都由**  {}{}{}提示：首先观察结论特点，判断它属于哪种题型nna14（）nnnnb1454414114nnnnnncbb2212516161164nnn225162516251616116416nnn11114{}1,(1)(1,2,3)2132nnnnnnnnaaaannaa3．放缩后为差比数列，再求和例．已知数列满足:．求证:nnnana)21(1011a0na021nnnnanaannaa1提示：所以所以nnnnnnanaa22112ijij134511521..(1)(1)321211612nnnnnnnnmmPPPijmPPPPnnnaaaaaaaabaa4．放缩后为裂项相消，再求和例．在（）个不同数的排列中，若＜时＞（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列的逆序数为，如排列的逆序数，排列4321的逆序数．（）求、，并写出的表达式（）令，证122231,2,.nnbbbnn明，提示：2)1(12)1(nnnnan,2,1,222222nnnnnnnbn12tan)42sin(2tan)(2xxxf)(,2111nnafaa)(xfnnaa1),2(21111111*21Nnnaaan2.已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：常用裂项放缩的结论：211111111(2)1(1)(1)1kkkkkkkkkk112121122()2()(2)1111kkkkkkkkkk在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键213(1)22221113(1)32314322252312nnnnnnnnnn一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型.则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例要证明的结论为等比数则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．祝大家新年快乐!再见！