2015方浩线性代数讲义5-1

第五章特征值与特征向量(一)特征值与特征向量1.[定义]：,0A，是矩阵A的一个特征值是矩阵A属于特征值的一个特征向量[注]特征向量不唯一，关注线性无关的特征向量2.[计算]：[特征值]数字型矩阵：||0EA抽象矩阵：观察法；利用特征值的性质；[求特征向量]数字型矩阵：0iEAx，求基础解系抽象矩阵：观察法；利用特征向量的性质；3.性质[特征值]：iiiiAtrA[特征向量]○1不同特征值对应的特征向量线性无关；○2特征值的特征向量的线性组合仍是对应的特征向量；○3k重特征值线性无关特征向量至多k个[传递原理]111TAfAfAPAPPPAA（二）相似矩阵1.[概念]1PAPBAB2.[性质]○1多项式性质：ABfAfB○2传递性：,ABBCAC○3保秩性：ABrArB○3相似的矩阵有相同特征值，行列式、迹[注意]A,B特征值相同仅是A与B相似的必要不充分条件(特征值“低小下”)（三）矩阵的相似对角化1.[条件]：有n个线性无关的特征向量；[判断方法]三阶矩阵：12311231123,1,1,,WinnerrEAWinnerrEALoserLoser2.步骤：○1计算特征值12,n○2计算线性无关特征向量12,n○3令12,nP121nPAP（四）实对称矩阵1.[性质]○1必可对角化（特征值顿时“高大上”）特征值相同是相似的充要条件○2不同特征值对应特征向量相互正交；已知一部分特征向量，立即求出未知特征向量2.[运算]存在正交矩阵Q使TQAQ○1123，312123123,,,,Q单位化○2123123123312123,,,,,,RQSchmit单位化（五）1rA○11TrAA○212,,0ntrA○311,,,;0,0;1TiiAAi○41,nnTTTAA