动态规划经典教程完整版

动态规划经典教程引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，于是写了这个总结：第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。下面举一个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。三，动态规划解决问题的一般思路。拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法：最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。（2）三要素法仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同：先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告）先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告）一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。（3）寻找规律法：这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。（4）边界条件法找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。（5）放宽约束和增加约束这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。第二节动态规划分类讨论这里用状态维数对动态规划进行了分类：1.状态是一维的1．1下降/非降子序列问题：问题描述：{挖掘题目的本质，一但抽象成这样的描述就可以用这个方法解}在一个无序的序列a1,a2,a3,a4…an里，找到一个最长的序列满足：ai=aj=ak…=am,且ijk…m.（最长非降子序列）或aiajak…am,且ijk…m.（最长下降子序列）。问题分析：如果前i-1个数中用到ak(akai或ak=ai)构成了一个的最长的序列加上第I个数ai就是前i个数中用到i的最长的序列了。那么求用到ak构成的最长的序列有要求前k-1个数中……从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？显然对于第i个数时只考虑前i-1个数,显然满足无后效性，可以用动态规划解。分析到这里动态规划的三要素就不难得出了：如果按照序列编号划分阶段，设计一个状态opt[i]表示前i个数中用到第i个数所构成的最优解。那么决策就是在前i-1个状态中找到最大的opt[j]使得ajai(或aj=ai)，opt[j]+1就是opt[i]的值；用方程表示为：{我习惯了这种写法，但不是状态转移方程的标准写法}opt[i]=max(opt[j])+1(0=ji且aj=ai){最长非降子序列}opt[i]=max(opt[j])+1(0=ji且ajai){最长下降子序列}实现求解的部分代码：opt[0]:=maxsize；{maxsize为maxlongint或-maxlongint}fori:=1tondoforj:=0toi-1doif(a[j]a[i])and(opt[j]+1opt[i])thenopt[i]:=opt[j]+1;ans:=-maxlongint;fori:=1tondoifopt[i]ansthenans:=opt[i];{ans为最终解}复杂度：从上面的实现不难看出时间复杂度为O（N2），空间复杂度O（N）；例题1拦截导弹(missile.pas/c/cpp)来源：NOIP1999(提高组)第一题【问题描述】某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。【输入文件】missile.in单独一行列出导弹依次飞来的高度。【输出文件】missile.out两行，分别是最多能拦截的导弹数，要拦截所有导弹最少要配备的系统数【输入样例】38920715530029917015865【输出样例】62【问题分析】有经验的选手不难看出这是一个求最长非升子序列问题，显然标准算法是动态规划。以导弹依次飞来的顺序为阶段，设计状态opt[i]表示前i个导弹中拦截了导弹i可以拦截最多能拦截到的导弹的个数。状态转移方程：opt[i]=max(opt[j])+1(h[i]=h[j],0=ji){h[i]存，第i个导弹的高度}最大的opt[i]就是最终的解。这只解决了第一问，对于第二问最直观的方法就是求完一次opt[i]后把刚才要打的导弹去掉，在求一次opt[i]直到打完所有的导弹，但这样做就错了。不难举出反例：61732错解：632/1/7正解：61/732其实认真分析一下题就回发现：每一个导弹最终的结果都是要被打的，如果它后面有一个比它高的导弹，那打它的这个装置无论如何也不能打那个导弹了，经过这么一分析，这个问题便抽象成在已知序列里找最长上升序列的问题。求最长上升序列和上面说的求最长非升序列是一样的，这里就不多说了。复杂度：时间复杂度为O（N2），空间复杂度为O（N）。【源代码】programmissile;constfin='missile.in';fout='missile.out';maxn=10000;vara,opt:array[0..maxn]oflongint;n,anslen,anstime:longint;procedureinit;varx:longint;beginassign(input,fin);reset(input);assign(output,fout);rewrite(output);n:=0;repeatinc(n);read(a[n]);untilseekeof;end;proceduremain;vari,j:longint;beginfillchar(opt,sizeof(opt),0);a[0]:=maxlongint;fori:=1tondoforj:=i-1downto0doif(a[j]=a[i])and(opt[j]+1opt[i])thenopt[i]:=opt[j]+1;anslen:=0;fori:=1tondoifopt[i]anslenthenanslen:=opt[i];fillchar(opt,sizeof(opt),0);a[0]:=-maxlongint;fori:=1tondoforj:=i-1downto0doif(a[j]a[i])and(opt[j]+1opt[i])thenopt[i]:=opt[j]+1;anstime:=0;fori:=1tondoifopt[i]anstimethenanstime:=opt[i];end;procedureprint;beginwriteln(anslen);writeln(anstime);close(input);close(output);end;begininit;main;print;end.例题二合唱队形(chorus.pas/c/cpp)来源：NOIP2004(提高组)第一题N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1...TiTi+1…TK(1=i=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。【输入文件】输入文件chorus.in的第一行是一个整数N(2=N=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130=Ti=230)是第i位同学的身高(厘米)。【输出文件】输出文件chorus.out包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。【样例输入】8186186150200160130197220【样例输出】4【数据规模】对于50％的数据，保证有n=20；对于全部的数据，保证有n=100。【问题分析】出列人数最少，也就是说留的人最多，也就是序列最长。这样分析就是典型的最长下降子序列问题。只要枚举每一个人站中间时可以的到的最优解。显然它就等于，包括他在内向左求最长上升子序列，向右求最长下降子序列。我们看一下复杂度：计算最长下降子序列的复杂度是O（N2），一共求N次，总复杂度是O（N3）。这样的复杂度对于这个题的数据范围来说是可以AC的。但有没有更好的方法呢？其实最长子序列只要一次就可以了。因为最长下降（上升）子序列不受中间人的影响。只要用OPT1求一次最长上升子序列，OPT2求一次最长下降子序列。这样答案就是N-max(opt1[i]+opt2[i]-1).复杂度由O（N3）降到了O（N2）。【源代码】programchorus;constfin='chorus.in';fout='chorus.out';maxn=200;varopt1,opt2,a:array[0..maxn]oflongint;n,ans:longint;procedureinit;vari:longint;beginassign(input,fin);reset(input);assign(output,fout);rewrite(output);readln(n);fori:=1tondoread(a[i]);end;proceduremain;vari,j:l