含参变量的积分

第三节一、含参变量的有限积分二、含参变量的无穷积分含参变量的积分第十二章一、含参变量的有限积分),),(ubxaRuxf（矩形域是设上的连续函数,则积分baxuxfd),(记作baxuxfud),()(u称为参变量,上式称为含参变量的有限积分.含参变量积分的性质定理1.(连续性)),(),(ubxaRuxf在矩形域若上连续,则函数—连续性,可积性,可微性:确定了一个定义在上的函数,[,]baxuxfud),()(在区间[,]也连续.证:),(uxf由于在闭区域R上连续,所以一致连续,即,0任给,0存在,),(,),(2211uxuxR内任意两点对只要2121,uuxx就有),(),(2211uxfuxf,0,任给因此,0存在,时当u有)()(uuubaxuxfuuxfd)],(),([baxuxfuuxfd),(),(这说明.],[)(上连续在区间u定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.,],[0u即对任意bauuxuxfd),(lim0bauuxuxfd),(lim0同理可证,),(),(dycuRyuf在矩形域若上连续,dcyyufud),()(则含参变量的积分.],[上连续也在区间定理2.(可积性)badxduuxf]),([上连续,baxuxfud),()(则且可积区间在,],[推论:在闭矩形域上连续函数f(x,y),其累次积分可交换即定理2表明,定义在闭矩形域上的连续函数,关于不同),(),(ubxaRuxf在矩形域若变数的积分(简称累次积分)可交换积分次序.求积顺序,定理3.(可微性)xxfuxfbad),(),(),(),(uxfuxfu及其偏导数若都在矩形,),(连续域ubxaRbaxuxfud),()(则有且可导在],,[,],[ubaxuxfuud),(dd)(bauxuxfd),(证:令,d),()(bauxuxfug上的连续是则],[)(ug函数,,],[时故当uuuugd)(uxuxfbauudd),(xuuxfuubadd),()()(u)()(u因上式左边的变上限积分可导,右边，可导也)(u有)()(uguuuugd)(bauxuxfd),(被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,导数与积分运算是可以交换次序的.定理3说明,(),()aaubbu[,]u()()(,)buaufxudx[,]()()()(,),[,]buauufxudxu变量外,积分上、下限也含有参变量，即但对应唯一一个积分（值）则它仍是区间的函数，设.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参()u[,]下面给出函数在区间的可微性.定理4.),(),(uxfuxfu及其偏导数若,),(连续ubxaR都在矩形域()au()bu[,][,]u而函数与在区间可导，，有(),()aaubabub()()()(,),[,]buauufxudxu[,]u则函数在区间可导，且xduxfduduubua)()(),()(dxuxfubuau),()()()(]),([ubuubf).(]),([uauuaf1220()ln()Fyxydx求函数的导数(y0).例1.0y01y解：，暂时固定，，使显然，被积函数22ln()xy22222ln()yxyyxy与在矩形域1(01,)Rxy都连续，11'2222002()ln()yFyxydxdxyxy根据定理2，有1012)()(2yxyxd10arctan2yx.arctan21y例2..)0(dln10baxxxxIab求解:yxbayd由被积函数的特点想到积分:abyxxlnxxxablnyxxIbaydd10xxyybadd10yyxbayd1011yybad1111lnab)],[]1,0[(上连续在baxy例3..d1)1ln(102xxxI求解:考虑含参变量t的积分所确定的函数.d1)1ln()(102xxxtt显然,,]1,0[]1,0[1)1ln(2上连续在xxt,)1(,0)0(I由于xxtxxtd)1)(1()(102xxttxtxxtd1111121022)1ln(arctan)1ln(211122xtxtxt01)1ln(42ln21112ttt)0()1(Ittttd)1ln(42ln211121001arctan2ln21t012)1ln(8ttttd1)1ln(102I2ln4故2ln8I因此得例4.).(,dsin)(2xyyxyxxx求设解:)(xyyxxxdcos2xxx2sin231sin2xxxxxyx2sinxx3sin2xx2sinxxx23sin2sin3例5.,0)(的某邻域内连续在设xxf充验证当x分小时,函数xnttftxnx01d)()(!)1(1)(的n阶导数存在,且.)()()(xfxn证:令,)()(),(1tftxtxFn),(),(,txFtxFx及显然在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得xnttftxnnx02d)())(1(!)1(1)()()(!)1(11xfxxnnxnttftxnx02d)()(!)2(1)(即同理,d)()(!)3(1)(03xnttftxnxxnttfx0)1(d)()()()()(xfxn于是二.含参变量的无穷积分1.含参变量的无穷积分的定义(,)Daxu设二元函数f(x,u)在区域有定义。(,)afxudx无穷积分都收敛，],,[u[,]u(,)afxudx即都对应唯一一个无穷积分（值）.(,)afxudx[,]()(,),[,]aufxudxu于是，是区间的函数，表为称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，u是参变量.2.含参变量无穷积分一致收敛的定义uI(,)afxudx设，无穷积分收敛.000,(0,,,AAAuI通用）(,)(,)(,)AaaAfxudxfxudxfxudx若有则称无穷积分(,)afxudx在区间I一致收敛。证明：无穷积分dxuexu0在区间[a,b](a0)例6.一致收敛.证明:设A0,无穷积分(u看作常数)dxueAxu)(xudeAxuAxue.Aue已知a≤u≤b,有xuAuAaAuedxee0,Aae11lnAa011ln.Aa使不等式成立，解得取00110,ln,,[,],AAAuabaxuAaAuedxe于是，有即无穷积分dxuexu0在区间[a,b](a0)一致收敛.3.含参变量无穷积分一致收敛的判别法定理5(柯西一致收敛准则）无穷积分0(,)fxudx在区间I一致收敛010200,0,,,AAAAAuI与,有21(,)AAfxudx定理6(优函数判别法)0,,,BxBuI(,)()fxuFx若有,且无穷积分()aFxdx收敛，则无穷积分在区间I一致收敛.adxuxf),(例7.20uxedx[,)a证明:无穷积分在区间一致收敛(a0).证明：有[,),ua22uxaxee，有又1x.2axaxee因为无穷积分dxeax1)(11axdeaxa11axaeaae1收敛,所以无穷积分dxeax12从而无穷积分dxeax02收敛，也收敛,根据定理6,则无穷积分20uxedx[,)a在区间一致收敛(a0).例8.证明无穷积分221cosxydxxy在R一致收敛.yR222cos1xyxyx证明：，有.而无穷积分dxx12111x1收敛,则无穷积分221cosxydxxy在R一致收敛.说明:虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便,但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛,若无穷积分是一致收敛,同时又是条件收敛,则不能用定理6来判别.定理7.若函数f(x,u)在区间，),0)(,(aIuxaD连续且(,)(,)xaFxuftudt在D有界,即0,(,)CxuD,有(,)(,)xaFxuftudtC时，则当0无穷积分dxxuxfa),(在区间I一致收敛.，uxaDuxf连续在区域设),(),(一致收敛，在区间且无穷积分],[),()(adxuxfu，，在一致收敛的条件下连续性定理说明.以交换顺序极限运算与积分运算可.),(lim),(),(lim000dxuxfdxuxfdxuxfauuaauu即:4.含参变量无穷积分的性质定理8(连续性).][)(连续，在区间则函数u★注意:连续，在区域若函数),(),(uxaDuxfadxuxfu一致收敛，，在区间且无穷积分][),()(可积，且，在区间则函数][)(u,),()(dxduuxfduua定理9(可积性)即(,)(,)aafxudxdufxududx(积分次序可交换)可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即.),(),(dxuxfuduuxfdudaa连续，在区域与若函数),(),(),(uxaDuxfuxfu,],[),()(收敛在区间且无穷积分adxuxfu一致收敛，在区间而无穷积分],[),(dxuxfau可导，且在区间则函数],[)(u定理10(可微性)''()(,)uaufxudx即(,)(,)aadfxudxfxudxduu注意:例9.证明：0ln,(0)axbxeebdxabxa证明:baxbxbxaxyxaeeeeexxx'yxbbyxaayedyedyx[,],yab.yxaxee已知有而无穷积分0axedx收敛.0axedx[,]ab根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有000axbxbbyxyxaaeedxedydxedxdyxlnlnlnbadybbaya