重要教学资料：吴正宪估算

第一场：案例研讨与提出问题对“运算教学”的整体思考头脑风暴：1．在运算教学中，您对估算教学有哪些思考？2．如何处理算理与计算方法的关系？3．如何科学地培养小学生的运算技能？4．您对算法多样化有哪些思考？5．在这部分教学中，您印象最深刻的教学现象是什么？您还有哪些困惑的问题？数与运算在小学数学课程中占有重要的地位，培养学生基本的运算技能，一直是广大教师关注的问题。可是在新课程理念下的小学数学运算教学的实施过程中，不少老师遇到了困难，产生了疑惑，而且有一些问题是带有普遍性的，比如：1．估算有什么价值？课上有没有必要用这么长时间来进行估算教学？2．学生的估算意识不强，怎样培养学生的估算意识？3．在解决问题中，学生不能灵活选用合适的估算策略，如何培养学生学生灵活选用估算策略？4．估算有没有统一的评价标准？5．运算教学中，新课程提倡“算法多样化”，但实际教学中，是不是应该让学生都掌握一个最基本的计算方法？可是这样做会不会又回到老路子上？6．学生的计算能力下降，练习过程中有没有更科学的训练方法？7．计算教学中，如何处理算理和计算方法的关系？它们孰轻孰重？8．什么是数感？如何培养学生数感？以上是教师们普遍关心的问题，不难看出，现在老师们关注的问题与实施新课程开始的问题已经有了不同。大家开始思考一些实施中新出现的问题。它涉及的是计算教学中整体的、更深层次的问题。关于运算教学，我们聚焦到以下三个问题：1、关于估算教学的思考；2、如何科学地培养学生运算技能的问题；3、关于算法多样化的思考；话题一：由估算教学谈起估算在数学课程中得到了强调，《全日制义务教育课程标准（实验）》中在第一、二学段的“数与代数”中共有45条具体目标，其中有关估算的目标就有6条。实验教材也大大增强了估算的份量，教师们更是在估算教学中进行着积极探索。但由于理论研究的缺乏、课程设计及实践的经验不足，教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，本专题我们就一起对估算的价值和估算能力的培养进行讨论，希望能引起老师们一些思考。在我们的生活经验当中，估计是非常普遍的。有学者将估计的形式分为了三种：数量估计（大约有多少，有人称之为估数）、测量估计（即我们所说的估测）计算估计(即我们所说的估算)。本专题讨论的是估算，还是从课堂教学入手，我们先看案例。【案例】“尴尬”的估算背景：学生已经有了一定的估算基础，在具体情境中让学生用估算解决问题时，出现了以下三种情境。情境一：教师出示以下题目，请学生进行估算。东方书报亭10月上旬的营业额（单元：元），你能估计出这个月上旬的营业额吗？日期12345678910营业额206201206204205198196198195203生1：我把这些数都估成200，200×10=2000（元）生2：我把206、205看作210，其他的数都看作200，210×3+200×7=2030（元）其他学生也表示同意，这时一个学生站起来：老师，我也算出来，比他们算得更准确，得2012元。就情境一，某校老师进行了讨论：（1）学生按精算方法计算，认为该生没有认真审题。（2）如果学生是在估算的基础上，再加上巧算的配合，得到了精确的答案，认为可以鼓励。因为简算和估算都很重要，在培养学生估算能力的同时，也要注意简算能力的培养。在解决实际问题的时候，既可以估算，也可以简算。情境二：某校期末考试卷上一道估算题：每个足球78元，要买2个足球，请你估计150元够吗？阅卷时发现，学生几乎全是用精算算出结果的，即78×2=156（元）156﹥150，所以不够。学生这样解答算不算对？给不给分？就情境二，部分教师认为：（1）虽然学生采用了精确计算的方法，只要结果是正确的，就应该给予肯定。（2）学生没有认真审题，不能给分。情境三：（1）课上通过一个实际问题，引入了估算。（2）抽象地谈在一个算式中，每个数可以怎么进行估计。——“388”可以怎么估？（380，390，400，300）——在388+120，388+110中，你打算分别怎样估“388”，才能不仅快，而且与实际结果相差最小？生1：388+110，388估成390，因为10+90是100，结果凑成整百。师：这个方法的结果是不是最接近实际结果呢？生1：是，因为390离388最近。生2：用四舍五入法。（师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最少）生3：388+120，388估成380最方便，因为相加为整百数。师：不是离实际结果最近，可以估成390。（3）最后解决一个实际问题：一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗？学生分6个小组进行讨论后，有5个小组用了前面所强调的“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”的思路，将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够；有1个小组进行了精确计算，发现399个座位够。面对学生不同的答案，教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算”。学生在上完课与教师的交流中这样说道：“好象只有您的课堂中才用到估算。”教师陷入了尴尬中。就情境三，部分教师认为：（1）老师面向全体强调“好”的估算标准，这样拔高要求了。（2）练习题的设计欠妥，学生感受不到估算的价值。通过以上案例的讨论，并不一定非要取得一个共识，只是希望通过案例引发老师们的进一步思考，因此提出几个问题：1．在实际教学中，学生常常习惯于精确计算，而不愿意进行估算，对于学生缺乏估算意识你有什么想法？2．估算的价值体现在哪些方面？举例说明。在培养学生的估算意识中，你有哪些好的经验和做法？3．在情境三中，教师一直强调“好”的估算的标准是“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”，对于这个标准也赞同吗？估算是否有“统一”标准？关于估算的评价问题，也是广大一线教师十分关注的问题。我们在这里向大家介绍TIMSS国际测试中的几个估算测试题，希望能引起大家的思考。【案例】TIMSS测试给我们的启示TIMSS测试是由国际教育成就评价协会发起和组织的国际教育评价研究和评测活动。成立于1959年的IEA曾经在60年代初组织了有十多个国家参加的第一次国际数学评测和第一次国际科学评测。70年代末、80年代初，IEA又组织了第二次国际数学评测和第二次国际科学评测。1994年，国际教育成就评价协会IEA在美国国家教育统计中心和国家科学基金会的财政支持下，发起并组织了第三次国际数学和科学评测，这次活动被简称为TIMSS，1999年，这项活动继续进行，并被称为TIMSS-R或TIMSS-REPEAT。2003年，为了更好地延续这项有意义的研究活动，TIMSS成为国际数学和科学评测趋势的缩写，从而使1995年、1999年、2003年的三次测试有了统一的名称。这三次测试是当代青少年数学教育和科学教育的重要的国际比较研究，对我国的数学教育和科学教育有一定的启发和借鉴意义。TIMSS是有史以来最大、最全面、也是最严格的国际比较研究项目。在TIMSS测试中，有考察学生估算能力的题目，下面是其中的一些：1．史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？A.30000B.240000C.300000D.2400000E.30000002．约翰想在磁带上录5首歌，每首歌所用的时间如下表所示：歌12345时间2分41秒3分10秒2分51秒3分3分32秒估计一下他录完这5首歌需要多少时间，并解释你的结果。3．保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？A.当保罗试图确认$5是否够用时；B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；C.当保罗被告知应付多少钱时；D.当销售员数保罗所付的费用时。4.对估算的评价。在估算或估测过程中，由于每个学生都有自己的想法，面对同一问题所采取的策略不尽相同，因而估算结果往往是不唯一的，这就涉及估算的评价问题。那么TIMSS对估算是如何评价的呢？我们不妨看一下上述第2题的评价标准：提出问题：⑴上面的测试题目对你有哪些启发？你有哪些好的测试学生估算能力的题目？你设计这些题目的意图是什么？⑵上面对估算的评价标准你是否赞同？对你有哪些启发？你的学校中是如何进行估算评价的？以上通过几个案例，对估算教学中呈现出的一些问题进行了简单梳理，最后针对这一部分留一些作业：作业1.在实际教学中，对于学生缺乏估算意识你有什么想法？你是怎样认识估算价值的?2．在课堂教学中你有哪些估算策略?你有哪些经验?3．如何评价估算？估算是否有“统一”标准？话题二：如何科学地培养学生的运算技能课程改革以来，不少老师反应学生的运算技能有所下降，并且学生分化情况提前、分化程度加剧，于是提出了“计算教学的有效性”问题。提到有效性，是不是就是要回到“重复性训练”、“题海战术”，的做法上去。回答当然是“不”！关键是我们需要对基本运算技能的标准，以及运算技能培养的科学化进行深入分析。还是从具体案例谈起：案例一：关于“0.3×0.2”的讨论背景：这是小数乘法单元中的一节课，在此之前学生已经会计算整数乘小数，并了解了小数点移动的规律。这节课在讨论具体小数乘小数如何计算的基础上，归纳出如何进行小数乘小数的运算。课上通过一个问题情境，首先引出了0.3×0.2=？首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6，一部分学生认为是0.06，产生了分歧。教师给学生充分思考、计算的空间，交流时学生发言热烈。学生1：（用画图表示0.3×0.2=0.06，如下图）“我是这样想的,宽是0.2米,不到1米,所以结果不会是0.3(平方米)。我用百格图，这里的0.3米代表花园的长，0.2米表示花园的宽，（表示面积）的这些方格占百格图的百分之六，所以0.3×0.2结果是0.06.”学生2：“我还有一种方法。把0.2看成是2,把0.3看成是3,2乘3得6,因为我刚才扩大了100倍，所以我要再缩小百分之一，得0.06。”学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，2×0.3得0.6,再把0.6缩小到原来的十分之一，就是0.06.”学生4：“我用竖式。02与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以0.2和0相乘得00,加起来就是0.06.”边说边写出了下面的竖式：学生的方法得到同学们的热烈的掌声。随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？”学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点‘点’哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了,小数点前只能是一个0,所以是0.06.”学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10分，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.”学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”师：这么多种方法计算这个问题，你喜欢哪一种？……●就上面的教学设计和课上实施，一些老师进行了讨论：（1）老师的设计给了学生足够的空间，展示了学生的很多种方法，这些方法都是学生个性化的思考，代表了他们的智慧，这样设计能够发展学生创造力，而且这些方法有学生各自的思考，能够跟算理有联系。（2）在将近20分钟的时间里，学生交流了6种方法，那么这个在课堂上给予学生充分，探索的时间是非常好的，但是，最后应该落点在什么地方，还是应该让孩子去掌握这种计算方法，让他以后做题的时候能一通百通。（3）关于算法和算理教师头脑一定要清楚，老师应该把重点放在算理上，不应该在具体方法上浪费这么多时间。（4）在运算教学过程当中，算理与算法都是并重的，很重要，但是40钟的课堂是时间有限的，怎样处理好它们的关系，把重点放在什么位置，这也是我们要思考的问题。●就0.2×0.3的算理，有老师这样认为：（1）0.2和0.3同时都看成整数2和3，这样同时扩大了10倍，要想积还原回去，就应该缩小100倍，2×3＝6，那0.2×0.3就等于0.06。（2）0.2可以看作十分之二，0.3可以看作十分之三，那么0.2×0.3就是求十分