电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析

电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢量E，电位移矢量D，磁感应强度矢量B，磁场强度矢量H，极化强度P，磁化强度M和电流密度矢量J。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。下面将就这七个矢量的散度和旋度进行分析：1.电场强度EE的散度：由高斯定理可知电场强度的散度:0E，这是在真空中的情况，为闭合面包围的自由电荷密度。当有电介质存在时，将高斯定理定理推广为0PE，P是极化电荷体密度。E的旋度：由电荷激发的电场是无旋场，旋度为零，由变化磁场激发的电场是有旋场，一般来说，空间电场是库伦电场和感应电场的叠加，根据法拉第电磁感应定律和安培环路定理可求得在真空中的电场强度旋度为:0E，表明静电场是无旋场。在时变的电磁场中：BEt，表明时变磁场产生时变电场。E的边界条件：通过积分形式的麦克斯韦第二方程，可以得到电场强度的边界方程：120neEE，设分界面的法向单位矢量为ne，切向单位矢量为te。上式表明电场强度E的切向分量是连续的。2.电位移矢量DD的散度：由0DErPr带入电场强度的散度公式中，得到电位移矢量D的散度表达式：D。式中为闭合面包围的自由电荷体密度，这个式子表明电解质内任一点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度。D的旋度：对于各向同性介质，有DEr，因此电位移矢量的旋度为BDErtD的边界条件：通过积分形式的麦克斯韦第四方程可以得到D的边界条件：12SneDD，S为分界面上存在的自由电荷面密度，这个式子表明电位移矢量的法向分量在分界面上是不连续的。对于各向同性的介质，由于DE，且由于电场强度E的切向分量是连续的，又分界面上两种介质的介电常数大小是不确定的，因此电位移矢量D的切向分量连续与否也是不确定的。3.磁感应强度矢量BB的散度：由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：Br=0，结果表明磁感应强度B的散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。B的旋度：由安培环路定理可得到真空中磁感应强度B的旋度为：0Br=Jr，结果表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。当有磁介质存在时，上式变为0Br=MJJ，J为传导电流密度，MJ为磁化电流密度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。B的边界条件：通过积分形式的麦克斯韦第三方程可以得到磁感应强度矢量B的边界条件：n12BB0e，表明磁感应强度的法向分量在分界面上式连续的。4.磁场强度HH的散度：对于各向同性的磁介质来说，BH。因为0Br=Jr，所以有：10HB。H的旋度：由于0BHM，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：HJ。表明磁介质中某点的磁场强度H的旋度等于该点的传导电流。存在时变的电磁场时，DHJt，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变的位移电流之和。H的边界条件：由麦克斯韦方程组的第一方程的积分形式得到磁场强度H的边界条为：n12HHSeJ，SJ为分界面上存在的自由面电流，表明磁场强度H在穿过存在面电流的分界面时，切向分量是不连续的。同理，由于分界面的磁介质大小不确定，而且BH，则H在垂直分界面方向上连续性是不确定的。5.极化强度PP的散度：在电介质中的任意闭合曲面S上取一个面积元dS，其法向单位矢量为ne，近似认为dS上的P不变。在电解质极化时，设每个分子的正负电荷的平均相对位移为d，则分子电偶极矩为pqd。以dS为底，d为斜高构成一个体积元VdSd。设电解质单位体积中的分子数为N，穿出面积元dS的正电荷为NqddSPdS。从闭合面S穿出的正电荷为SPdS。留在闭合面S内的极化电荷量为pSVqPdSPdV。因为闭合面S是任意取的，故S限定的体积V内的极化电荷体密度应为:PP，则P的散度是PP，P是体积V内的极化电荷体密度。P的旋度：对于各向同性的线性介质，有0ePE，E是合成电场强度，是由自由电荷产生的外电场0E和极化电荷产生的附加电场'E的叠加。由于两种电场的旋度都为零，因此有0P。P的边界条件：电解质表面上的极化电荷面密度为nSPPe，在分界面上的边界条件有n12SPePP，SP是分界面上的极化电荷面密度，上式表明极化强度的法向分量是不连续的。6.磁化强度MM的散度：对于各向同性和线性介质mMH，由上边的0H，可以知道0M。M的旋度：由磁介质中的任一个由边界回路C限定的曲面S，穿过整个曲面S的磁化电流为MCSIMdlMdS，将磁化电流MI表示为磁化电流密度MJ的积分，即MSMIJdS，比较上面两个式子得到：MMJ。M的边界条件：磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：SMnJMe，ne为磁介质表面法向的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出M的边界条件是：12SMneMMJ。这表明磁化强度M在分界面切线方向不连续。7.电流密度矢量JJ的散度：根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于闭合面S所限定的体积V内的电荷减少量，即SVdqdJdSdVdtdt，设定闭合面S所限定的体积V不随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：SVJdSdVt，应用散度定理。得到0VJdVt，从而得到：Jt。J的旋度：根据欧姆定理的微分形式JE，又因为库伦电场的旋度恒为零，则0J。J的边界条件：类似上边讨论的方法，在分界面上的边界条件为n12SeJJt，这表明若存在随时间变化的自由面电荷，那么传导电流密度的法向分量是不连续的。