分数巧算之裂项法

第二讲分数裂项巧求和学习中这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。（这种方法称为“裂项法”）我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。;......5141541;4131431;3121321;2111211如：例1.计算：5049149481......431321211分析与解：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以将每一个分数分裂成两分数的差，即111)1(1nnnn5049149481......431321211)501491()491481(......)4131()3121()2111(501491491481......414131312121150115049（去掉括号）（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）小结：通过以上的介绍可以看到在分数计算中，有的计算如果运用通分等思想，由于题目过于复杂，不容易计算，而使用裂项法就使解题变得十分的简单。【举一反三】计算：2019119181......431321211(1)201020091200920081......141311312112111)2(例2、计算655545435325215这道题目与例1相比有什么不同？分子不是1，而是5。我们可以这样想：6515655;5415545;4315435;3215325;2115215625655)651541431321211(5原式通过拆分，我们将例2转化成了的形式，因此111)1(1nnnn【举一反三】计算：872762652542432)2(2827827268262582524824238)1(例3、计算24501......20112161分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法，我们应该先通分，再求和。仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以写成两个相邻数的乘积的形式：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5，…，2450＝49×50。原来可以这样拆分啊这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形式。24501......201121612512502450121501491.......5151414131312150491.......541431321【举一反三】计算：901......2011216121)1(721561421301201)2(例3、计算723563423303203分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前面知识，将原式中的分数进行拆分，如：.......4213423;3013303;2013203将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：72356342330320372135613421330132013)721561421301201(3)981871761651541(3)91818171716161515141(3)9141(31253653分母写成两个相邻的数的乘积【举一反三】计算：42330320312363)1(1107907727567427)2(