裂项相消法求和附答案

第1页共14页裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是{an}等差数列，则)11.(1111nnnnaadaa,)11.(21122nnnnaadaa（2）11111nnnn）（（3）)11(1)(1knnkknn（4）)121121(2112)121nnnn）（（（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn（6）nnnn111（7）)(11nknkknn1.已知数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为．[解析](1)……………①时,……………②①②得:第2页共14页即……………………………………3分在①中令,有,即，……………………………………5分故对2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分∴=．…………………………………………6分∴Tn===≥，…………………………………………8分又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，第3页共14页∴≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn为数列的前n项和,求T2012的值.[答案](Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2.(5分)故an=n+1.(6分)(Ⅱ)==-,(8分)∴Tn=-+-+…+-=-=.(10分)∴T2012=.(12分)4.)已知数列{an}是等差数列,-=8n+4,设数列{|an|}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:≤Tn1.[答案](1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.(2分)∵-=8n+4,∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.第4页共14页当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.∴an=2n或an=-2n.(6分)(2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n.∴|an|=2n.∴Sn=n(n+1).(8分)∴==-.∴Tn=1-+-+…+-=1-.(10分)∴≤Tn1.(12分)5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.[答案]查看解析[解析](Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),第5页共14页解得a1=1,所以an=2n-1.(Ⅱ)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+++=1+=.所以Tn=6.已知点的图象上一点，等比数列第6页共14页的首项为，且前项和(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？[解析]解：(Ⅰ)因为，所以，所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，第7页共14页所以.（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得，（10分）由得，满足的最小正整数为72.（12分）7.在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[解析]（Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测.（4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，第8页共14页那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立.（7分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.综上所述，原不等式成立.(12分）8.已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；第9页共14页（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．[解析]（1）当时，，由，……………………1分当时，∴是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分故…………………6分（2）由（1）知，………………8分，故使成立的最小的正整数的值.………………12分第10页共14页9.己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设Tn为数列的前n项和，若Tn≤¨对恒成立，求实数的最小值．[解析]122.（Ⅰ）设公差为d.由已知得……………………………3分解得，所以………………………………6分（Ⅱ），………………………………9分对恒成立，即对恒成立又∴的最小值为……………………………………………………………12分10.已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：，第11页共14页[解析]（Ⅰ）成等差数列,∴，，当时，,两式相减得：.所以数列是首项为，公比为2的等比数列，.（6分）(Ⅱ)，（8分），.（12分）11.等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{}是公比为64的等比数列.(Ⅰ)求an与bn;(Ⅱ)证明:++…+.[答案](Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有①第12页共14页由(6+d)q=64知q为正有理数,又由q=知,d为6的因子1,2,3,6之一,解①得d=2,q=8.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.(Ⅱ)证明:Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以++…+=+++…+==.12.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.[答案](Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由=9a2a6得=9,所以q2=.因为条件可知q0,故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=.故数列{an}的通项公式为an=.(Ⅱ)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-,故=-=-2,第13页共14页++…+=-2++…+=-.所以数列的前n项和为-.13.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)求++…+.[答案](Ⅰ)设{an}的公差为d,且d为正数,{bn}的公比为q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2·(9+3d)=60,(2分)解得d=2,q=2.(4分)故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6分)(Ⅱ)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以++…+=+++…+=(10分)==-.(12分)14.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.第14页共14页(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Mn,求证:≤Mn.[答案](1)∵T5=T3+2b5,∴b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,∴a1=1.n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1).∵n-1≥1,∴an-an-1=4(n≥2),∴数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列,∴an=4n-3.(6分)(2)证明:∵==·,(8分)∴Mn=++…+==,(10分)又易知Mn单调递增,故Mn≥M1=.综上所述,≤Mn.(12分)