(人教A版)高中数学精品课件必修一：3.1.2 用二分法求方程的近似解

3.1.2用二分法求方程的近似解（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解；（3）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半1.首先从中点C查2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段3.再到BC段中点D4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段5.再到CD中点E来看DE这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50—100m左右，即在一两根电线杆附近．这在现实生活中也有许多重要的应用．其思想方法在生活中解答以上这类问题时经常碰到．解答以上这类实际问题关键在于，根据实际情况加以判断和总结，巧妙取中点，巧妙分析和缩小故障的区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(-1)0,f(5)0即f(-1)f(5)0，我们依如上方法求得方程f(x)=0的一个解?取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)0,f(5)0,即f(2)f(5)0,所以在区间[2,5]内有方程的解，于是再取[2,5]的中点3.5，……-1f(x)yxO12345如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0,则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不为0，那么，不断重复上述操作，像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。二分法的定义：定义如下：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1.确定区间，验证，给定精度；,ab()()0fafb2.求区间的中点；,abc3.计算()fc（1）若，则就是函数的零点；()0fc（2）若,则令（此时零点；()()0fafcbc0(,)xac（3）若,则令（此时零点；ac()()0fcfb0(,)xcb即若，则得到零点近似值(或）；abab4.判断是否达到精度：否则重复步骤2～4．c例1.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度为0.01）.解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，方程lnx=6-2x有唯一解，记为，且这个解在区间（2，3）内。1x根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)0,f(3)02.5f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)0，f(3)02.75f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)0，f(2.75)02.625f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)0,f(2.625)02.5625f(2.5625)0（2.53125，2.5625）f(2.5)0f(2.5625)0（2.5，2.5625）f(2.53125)0f(2.5625)0f(2.53125)02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)0f(2.53125)0f(2.546875)0（2.53125，.5390625）f(2.546875)0f(2.53125)0,f(2.5390625)0列出下表：由于2.53906252.531250.00781250.01所以，可以将2.53125x作为函数()ln26fxxx零点的近似值，也即方程ln260xx的近似根点评：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解。由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算。利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解.（精确到0.1）解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。设f(x)=lgx+x-3xOyy=lgxy=3-x因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)0，f(3)02.5f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)0，f(3)02.75f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)0，f(2.75)02.625f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)0，f(2.625)02.5625f(2.5625)0（2.5625，2.625）f(2.5625)0，f(2.625)0列出下表：方法点评用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤:1.寻找解所在区间（1）图象法先画出y=f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标的范围.（2）函数法把方程均转换为f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.2.判断二分解所在的区间若x1(a,b),不妨设f(a)0,f(b)0（3）若（1）若（2）若由f(a)0，则由，则则f(b)0,对(1)、(2)两种情形再继续求二分解所在的区间.abf()021abx(a,)2abf()021abx(,b)2abf()021abx2当x1(m,n),且m,n根据精确度得到的近似值均为同一个值P时，则x1≈P，即求得近似解。3.根据精确度得出近似解例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表和图象如下：273142754021103-2-6f(x)876543210x因为f(1)·f(2)0所以f(x)=2x+3x-7在（1，2）内有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈0.33，因为f(1)·f(1.5)0所以x0∈（1，1.5）取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375），由于|1.375-1.4375|=0.06250.1所以，原方程的近似解可取为1.4375练习1：用二分法求函数32f(x)x1.1x0.9x1.4在区间（0，1）内的零点（精确到0.1）解:由题设可知：f(0)1.40,f(1)1.60,f(0)f(1)0则所以，函数f(x)区间（0，1）内有一个零点.下面用二分法求函数在区间（0，1）内的零点取区间(0,1)的中点1x0.5,f(0.5)0.55得0f(0.5)f(1)0,x(0.5,1).因为所以f(0.75)0.32得0f(0.5)f(0.75)0,x(0.5,0.75).因为所以00x(0.625,0.75),x(0.625,0.6875)同理0x(0.65625,0.6875)0.68750.656250.031250.1所以近似零点可取为0.6再取区间(0.5,1)的中点2x0.75,练习2:下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是（）Cxy0xy0xy0xy0思考:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断.2.y=f(x)满足f(a)f(b)0，则在(a,b)内必有零点.思考：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？xyoxyo不行,因为不满足f(a)*f(b)02.二分法的应用：求方程近似解1.二分法的原理世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。