2011年高中数学优质课比赛课件：等比数列的性质及其应用

等差数列等比数列定义数学表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.an+1-an=d(常数)符号表示首项a1,公差d如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.首项a1,公比q(q≠0)d与{an}q与{an}d＞0{an}递增d＜0{an}递减d＝0{an}为常数列q＞0{an}中各项同号q＜0{an}中的项正负相间q＝1{an}为非零常数列通项公式an=a1+（n-1）dan=a1·qn-1an+1an=q(常数)中项a,A,b成等差,则2A=a＋ba,G,b成等比,则G2=ab由等差数列的性质，猜想等比数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d.性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an+k+an-k.猜想2：性质３：若n+m=p+q，则am+an=ap+aq..2knknnbbb猜想1：mb.nmnbq若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项，则猜想3：若n+m=p+q，则bn·bm=bp·bq..nmnmbbq证明:，1111,nnmmqbbqbb11nmmnmmbqbqq11nbq.nb若n+m=p+q,则bnbm=bpbq.证明:111111mnmnqbqbbb，2121mnqb111111qpqpqbqbbb，2121qpqb，qpmn.nmpqbbbb反之成立吗?q不一定，当=1时不成立.:1,1,1,1na如数列例1:⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=.⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.⒊在等比数列{an}中，若则a10=.-1286，625161374aaaa51531,9,naaaaq,变式：（1）在等比数列中，则33.154560(2)10,90,naaaa在等比数列中，则270.123445(3)2,4naaaaaaa在等比数列中，若，则1(4)2nnnnn在和间插入个正数，使得这个数成等比数列，求插入的这个数的积.1211nnnTaaaann1211nnnTnaaaan倒序相乘•分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.•由类比思想的应用可得:若三个数成等比数列，则设这三个数为再联立方程组.三个数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数.127例2:,,aaaqq，三个正数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数.127解：设三个正数为.,,qaaqa，21qaaqa，12711aqaaq得，21)11(qqa.127)11(1qqa.362a,6a.212或q例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0.求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.111,21(1)1nnnnaaaaa变式：已知数列满足，求证：数列是等比数列；(2)na求数列的通项公式.{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an+k+an-k.性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq2.nnknkbbbnmnmbbq若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项则若n+m=p+q则bnbm=bpbq小结等差数列与等比数列的性质