等腰三角形存在性问题专项训练

lBA第讲：等腰三角形存在性问题专题训练第一模块:等腰三角形预备知识：一、等腰三角形4大性质（1）等边对等角、等角对等边；（2）三线合一；（3）含有60°角的等腰三角形是等边三角形；（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离等于腰上的高；二、构造等腰三角形二、特殊的等腰三角形（1）等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）底角为30°的等腰三角形；（4）黄金三角形第二模块：单动点情况下等腰三角形存在性问题一、模型引入引入：如图，已知线段AB，在过A点的直线l上求作点P，使△ABP为等腰三角形.思维提升：在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)yx-3-2-1-1-2-312345654321OA（2,1）【答案】二、典型分析例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC=4AD=24，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．【答案】，2，．例2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为(30)，，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．（1）求点G的坐标；（2）求折痕EF所在直线的解析式；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．52423DBCAEFF【答案】解：（1）四边形ABCO是正方形，4BCOA，E为CB中点，2EBMNy∥轴，(30)N，，MNEB且1MBNA1EM而2EGEC，1sin2EMEGMEG30EGMcos303MGEG·，(343)G，（2）30EGM60MEGFEGCEFtan6023CFCE·423FO(0423)F，，(24)E，设直线EF的解析式：(0)ykxbk24423kbb3423kb折痕EF所在直线解析式：3423yx（3）12(3123)(143)PP，，，，34(3723)(343)PP，，，综合训练（2011湖南）如图（11）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(94，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过．．．．点C．（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵以AB为直径的圆恰好经过．．．．点C∴∠ACB=090（2）∵△AOC∽△ABC∴OBAOOC2∵A(－94，0)，点C(0，3)，∴49AO3OC∴OB4932∴4OB∴B(4,0)把A、B、C三点坐标代入得3127312xxy（3）①OD=OB,D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H，则H是OB中点．DH=OC21OBOH21∴D)23,2(②BD=BO过D作DG⊥OB,垂足是G∴OG:OB=CD:CBDG:OC=1:5∴OG:4=1:5DG:3=1:5∴OG=54DG=53∴D(54,53)第三模块：双动点情况等腰三角形存在性问题一、模型引入xyCBAO图11BAO二、典例分析例3（济南）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，DC=5，AB=24，∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【答案】（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴3KHAD．在RtABK△中，2sin454242AKAB2cos454242BKAB在RtCDH△中，由勾股定理得，22543HC∴43310BCBKKHHC（2）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图②，即102tt∴103tOBAADCBMNOABADCBMN（图②）（题图③）ADCBMNHE（图①）ADCBKH②当MNNC时，如图③，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN△中，5cosECtcNCt又在RtDHC△中，3cos5CHcCD∴535tt解得258t解法二：∵90CCDHCNEC∠∠，∴NECDHC△∽△∴NCECDCHC即553tt∴258t③当MNMC时，如图④，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一：（方法同②中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t解法二：∵90CCMFCDHC∠∠，∴MFCDHC△∽△∴FCMCHCDC即1102235tt∴6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC△为等腰三角形．同类训练：平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点M沿OA向终（图④）ADCBHNMF点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP.已知动点运动了x秒.1.P点的坐标为（______，_____）；（用含x的代数式表示）.2.试求三角形MPA面积的最大值,并求此时x的值.3.探索:当x为何值时,三角形MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.【答案】解：（1）由题意可知C（0，4），又A（3，0），所以直线AC解析式为：443yx，因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为3﹣x，代入直线AC中得43yx，所以P点坐标为（43,3xx）；（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=3﹣x，MA边上的高为43x，其中，0≤x≤3∴214233(3)()23322SxxxS=（3﹣x）·x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6∴S的最大值为32，此时32x；（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA①若MP=PA∵PQ⊥MA∴MQ=QA=x．∴3x=3，∴x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，43PQx，PM=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，∵PM2=MQ2+PQ2∴2224(3)(32)()3xxx∴5443x③若PA=AM，∵53PAx，AM=3﹣x∴533xx∴98x综上所述，x=1，或5443x或98x．第四模块：其它类型例4如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？【答案】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12．∵QB=16﹣t，∴S=12×12×（16﹣t）=96﹣6t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得72t；②若BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2即3t2﹣32t+144=0．由于△=﹣704＜0，BACQDPM∴3t2﹣32t+144=0无解，∴PB≠BQ．③若PB=PQ．由PB2=PQ2，得t2+122=（16﹣2t）2+122整理，得3t2﹣64t+256=0．解得1163t，t2=16（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当72t秒或163t秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．综合训练：（江苏）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）根据题意，得743yxyx，解得34xy，∴A(3，4).令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△PQR-S△ARB=8，得12(3+7)×4-12×3×(4-t)-12t(7-t)-12t×4=8整理,得t2-8t+12=0,解之得t1=2,t2=6（舍）当P在CA上运动，4≤t＜7.由S△APR=12×(7-t)×4=8，得t=3（舍）∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.②当P在OC上运动时，0≤t＜4.∴AP=（4-t）2+32，AQ=2t，PQ=7-t当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2,整理得，t2-8t+7=0.∴t=1,t=7(舍)当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24.∴t=4(舍去)当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2整理得，t2-2t-17=0∴t=1±32(舍)当P在CA上运动时，4≤t＜7.过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由cos∠OAC=AEAQ=ACAO，得AQ=53(t-4)．当AP=AQ时，7-t=53(t-4)，解得t=418.当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=12AP得t-4=12(7-t)，解得t=5.当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于FAF=12AQ=12×53(t-4).lxyOBACPRQlxyOBACPRDFElxyOBACPRQ在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AFAP＝35，得AF＝35AP即12×53(t-4)=35×(7-t)，解得t=22643.∴综上所述，t=1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形.