55第一章++非线性光学极化率的经典描述09

第一章非线性光学极化率的经典描述1.1极化率的色散特性1.2非线性光学极化率的经典描述1.3极化率的一般性质1.1极化率的色散特性1.1.1介质中的麦克斯韦方程由光的电磁理论,光波是光频电磁波,在介质中的传播规律遵从麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋅∇=⋅∇+∂∂=×∇∂∂−=×∇0HDJDHBEρtt(1.1-1)⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=EJMHBPEDσμμε000物质方程(1.1-2)上面两式中的J和ρ分别为介质中的自由电流密度和自由电荷密度,M为磁化强度,ε0为真空介电常数,μ0为真空磁导率,σ为介质的电导率,P是介质的极化强度。由于研究的光与物质相互作用主要是电作用,可以假定介质是非磁性的,而且无自由电荷,即M=0,J=0，ρ=0。所以,上述方程可简化为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋅∇=⋅∇∂∂=×∇∂∂−=×∇00BDDHBEtt⎭⎬⎫=⋅=+=HBEPED00μεε(1.1-3)(1.1-4)光在介质中传播时,由于光电场的作用,将产生极化强度。P=PL+PNL(1.1-5)当光电场强度很低时,可以忽略非线性项PNL,仅保留线性项PL,这就是通常的线性光学问题。当光电场强度较高时,必须考虑非线性项PNL,并可以将非线性极化强度写成级数形式:PNL=P(2)+P(3)+…+P(r)+…(1.1-6)在本书中,除了特别指明外,光电场和极化强度均采用通常的复数表示法。对于实光电场E(r,t),其表示式为E(r,t)=E0(r)cos(ωt+φ)(1.1-7)或E(r,t)=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt(1.1-8)式中的E(ω)为频域复振幅,且有)(0)(21)(rierϕω−=EE(1.1-9)E0(r)是光电场中的实振幅大小。极化强度为P(r,t)=P(ω)e-iωt+P*(ω)eiωt(1.1-10)P(ω)为频域复振幅。考虑电场强度和极化强度的真实性E*(ω)=E(-ω)(1.1-11)P*(ω)=P(-ω)(1.1-12)极化电介质在外场的作用下，由于静电感应，在介质内部产生反方向电场，但不足以抵消外电场。无极分子正、负电荷中心重合分子本身电偶极矩为零外场导致正、负电荷中心发生相对位移分子电偶极矩不为零介质体现出总的极化强度ΕG0=pG0≠pG0≠=∑pPGG有极分子正负电荷中心不重合，分子本身有电偶极矩无外场，热运动导致杂乱分布外光场，电偶极矩取向相近介质表现出总的极化强度EG0≠pG0==∑pPGG0≠=∑pPGG宏观描述极化强度与外加电场之间的关系各向同性介质：与方向相同，简单的正比关系各向异性介质：与方向不平行，正比关系PGEGEPGGχ=()()()zEEEyEEExEEEPzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxˆˆˆχχχχχχχχχ++++++++=GPGEG1.1.2极化率的色散特性1.介质极化的响应函数1)线性响应函数因果性原理是物理学中的普遍规律。当光在介质中传播时,时刻介质所感应的线性极化强度P(t)不仅与ｔ时刻的光电场E(t)有关,还与ｔ时刻前所有的光电场有关,即，时刻的感应极化强度与产生极化的光电场的历史有关。假定在时刻ｔ以前任一时刻τ的光电场为E(τ),它对在时间间隔(ｔ-τ)以后的极化强度的贡献为dP(t),且有dP(t)=ε0R(t-τ)·E(τ)dτ（1.1-13)R(t-τ)为介质的线性响应函数,它是一个二阶张量,则ｔ时刻的感应极化强度为τττεd)()()(0ERP⋅−=∫∞−ttt(1.1-14)∫∞′′−⋅′−=00)()()(τττεdttERP考虑到积分变量的任意性,用τ替换τ′∫∞−⋅−=00)()()(τττεdttERP(1.1-15)(1.1-18)(1.1-19)2)非线性响应函数∫∫+∞∞−+∞∞−−−=212121)2()2()()(:),()(ττττττddtttEERP2.介质极化率的频率色散1)线性极化率张量对于1.1-15)表示的线性极化强度关系,取E(t)和P(1)(t)的傅里叶变换:∫∫∞∞−−∞∞−−==ωωωωωωdetdettiti)()()()()1()1(PPEE(1.1-20)(1.1-21)τωωτεωωτωωddedettiti∫∫∫∞∞−∞∞−−−∞∞−−⋅==)()1(0)1()1()()()()(ERPP(1.1-22)利用频率域内线性极化强度复振幅P(1)(ω)与光电场复振幅E(ω)的定义关系式∫∞∞−−⋅=⋅=ωωωχεωωχεωωdetti)()()()()()()1(0)1()1(0)1(EPEP有(1.1-23)(1.1-24)比较(1.1-22)式和(1.1-24)式,可得dreri∫∞∞−=ωτωχ)()()1()1(R(1.1-25)(1.1-24)式和(1.1-25)式就是线性极化强度P(1)(t)和线性极化率张量χ(1)(ω)的表示式。(1.1-26)－(33)Kramers-Kroning关系（复变函数，实部与虚部关系）2)非线性极化率张量对于非线性极化强度,进行类似上面的处理,可以得到非线性极化率张量关系式。将(1.1-18)式中的光电场E(t-τ)进行傅里叶变换,可得)()(212121)2(210)2(221121)()(:),()(τωτωωωωωωωττττε++−∞∞−∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫∫=itieeddRddtEEP(1.1-34)若将二阶非线性极化强度表示成如下形式:tieddt)(2121)2(210)2(21)()(:),()(ωωωωωωχωωε+−∞∞−∞∞−∫∫=EEP(1.1-35)与(1.1-34)式比较,得到二阶极化率张量表示式为)(21)2(2121)2(2211),(),(τωτωττττωωχ+−∞∞−∞∞−∫∫=ieRdd(1.1-36)同理,若将r阶非线性极化强度表示为EEE∑==−∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫rmmtirrrrredddtP1)()()(|),,,()(2121)(210)(ωωωωωωωχωωωε(1.1-37)式中,χ(r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示r个点,则第r阶极化率张量表示式为)(21)(2121)(2211),,,(),,,(rrirrrrreRdddτωτωτωττττττωωωχ+++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=(1.1-38)对于分立（不连续）光3.介质极化率的空间色散χ(ω,k)介质极化率的频率色散特性,它起因于极化强度与光场的时间变化率有关,是时间域内因果性原理的直接结果。由于介质内给定空间点的极化强度不仅与该点的光电场有关,而且与邻近空间点的光电场有关,即与光电场的空间变化率有关,这就导致了极化率张量χ与光波波矢k有关,这种的依赖关系,叫做介质极化率的空间色散,其空间色散关系可以通过空间域的傅里叶变换得到。1.2非线性光学极化率的经典描述1.2.1一维振子的线性响应设介质是一个含有固有振动频率为ω0的振子的集合。振子模型是原子中电子运动的一种粗略模型,即认为介质中的每一个原子中的电子受到一个弹性恢复力作用,使其保持在平衡位置上。当原子受到外加光电场作用时,原子中的电子作强迫振动,运动方程为Emerdtdrhdtrd−=++20222ω(1.2-2)式中,h是阻尼系数,m是电子的质量。现将r和E傅里叶展开:ωωωωωωdeEtEdertrtiti∫∫∞∞−−∞∞−−==)()()()((1.2-3)(1.2-4)由于方程(1.2-2)是一个线性微分方程,因此其解r(t)只与光电场E(t)成线性关系,所以对任何一个频率分量都可以得到)()()(2)(202ωωωωωωωEmerrihr−=+−−由此可解得ωωωωωihEmer21)()(220−+−=(1.2-5)根据介质极化强度的定义,单位体积内的电偶极矩复振幅P(ω)为ωωωωωωihEmnenerP21)()()(2202−−=−=(1.2-6)再根据(1.1-23)式的关系,并考虑一维情况,可得ωωωεωεωωχihmneEP21)()()(220020)1(−−==(1.2-7)引入符号ωωωωihF21)(220−−=(1.2-8))()()()(02)1(ωχωχωεωχ′′+′==iFmne(1.2-9)式中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+−=′′+−−=′22222002222220220024)(2)(4)()(ωωωωεωχωωωωωεωχhhmnehmne(1.2-10)图1.2-1χ′(ω)和χ″(ω)与频率ω的关系曲线420－20.51.01.5)(ωχ′)(ωχ′′0/ωω1.2.2一维振子的非线性响应1.单个频率光场的情况假设频率为ω的光电场表示式为E=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt(1.2-12)由于方程(1.2-11)式是非线性的,直接求解十分困难,而考虑到振子恢复力中的非简谐项较小,可以根据微扰理论求解。将r展成幂级数形式:∑∞==1kkrr(1.2-13)代入(1.2-11)式后,可以得到一系列rk所满足的方程。在每一个方程中所包含的项,对电场来说都具有相同的阶次。这一系列方程中昀低阶次的三个方程是3121320323221220222212012122222BrrArrdtdrhdtrdrrdtdrhdtrdEmerdtdrhdtrd+=++=++−=++ωωω(1.2-14)(1.2-15)(1.2-16)(1.2–17～19)2.包含多个频率分量光电场的情况假设光电场包含有多个频率分量,用复数表示时,可以写成如下的形式:tinnneEEωω−∑=)((1.2-32)式中,E(ωn)是频率为ωn的光场的复振幅。考虑到光电场的真实性,应有ω-n=-ωn(1.2-33)E(ω-n)=E(-ωn)=E*(ωn)(1.2-34)相应的极化强度表示式为tilnmlnmlnmtinmnmntinnnlnmnmneEEEtPeEEtPeEtP)(,,)3(0)3(),()2(0)2()1(0)1())()(),,()()()(),()()()()(ωωωωωωωωωωωωχεωωωωχεωωχε++−−−∑∑∑===(1.2-35)(1.2-36)(1.2-37)要强调的是,式中对m,n,l求和时,应包括所有的正值与负值。例如,设有两个频率分量ω1和ω2,(1.2-36)式中m和n的可取值为m=1,2,-1,-2n=1,2,-1,-2讨论1)线性项振荡频率与入射光场相同振荡幅度正比于入射光场2)二次谐波振荡频率为入射光场两倍振荡幅度正比于入射光场的平方3)和频/差频振荡频率为入射光场频率之和/差振荡幅度正比于入射光场的乘积4)光学整流振荡频率为0振荡幅度正比于入射光场的平方)(),(2)1(1)1(ωωxx21,ωω21,εε)(21)2(ωω±x)2(),2(2)2(1)2(ωωxx212,2ωω2221,εε21ωω±21εε⋅2221,εε)0()2(x小结非简谐振子模型，反映线性与非线性光学的区别1.线性光学观测量正比于外加光场的光强，而非线性光学则不是简单的正比关系（如介质的透过率）2.线性光学中不同频率的广播之间不能交换能量，所有可能的广播频率均与入射光场相同，而非线性光学中不同频率的光波可以发生能量交换，可能产生新的光波频率（如和频、差频、倍频、光学整流）3.线性光学中电极化强度正比于外加光场，而非线性光学中不是正比关系（如平方关系、立方关系）1.3极化率的一般性质1.3.1真实性条件由前面的讨论已知,介质的线性极化率张量χ(1)(ω)与线性极化响应函数R(1)(τ)有如下关系:ττωχωτdei∫∞∞−=)()()1()1(R(1.3-1)因此,对极化率张量取复共轭,应有[][])()()()1()1()1(∗−∞∞−∗∗−==∗∫ωχττωχτωdeiR(1.3-2)1.3.2本征对易对称性由一维振子的二阶非线性极化率表示式(1.2-26)式和F(ω)表示式可以看出χ(2)(ω1,ω2)=χ(2)(ω2,ω1)(1.3-5)由前面的讨论已知,频率为ω1和ω2光电场所产生