第四章 有源滤波器(2)

有源滤波器（Ⅱ）4.1滤波器近似4.2级联设计4.3通用阻抗转换器4.4直接设计低阶滤波器高阶滤波器不能很好地满足实际应用要求时包括一阶、二阶三阶以上4.1滤波器近似如果需要抑制的信号和需要通过的信号在频率上非常接近，那么在这种情况下二级滤波器的截止特性可能就不够陡峭，此时就需要采用某种高阶滤波器。实际的滤波器只能逼近图3.1所示的理想响应曲线。一般而言，如果要求逼近的程度愈好，那么滤波器的阶数就会愈高。实际低通滤波器与它的理想模型之间的差别可用图4.1（a）中的阴影部分来表示低通情况。引人衰减量为()A10()20log()AHj（4.1）图4.1（a）低通响应；（b）高通响应的幅度限制可以看到，对信号产生些微或几乎没有衰减的频率范围称为通带。对于低通滤波器，通带一直从直流延伸到截止频率。增益在通带范围内不必为一个常数，对它的变化定义了一个最大变化量Amax，如Amax=1dB。增益在通带内可能会呈现起伏，此时Amax称为最大通带起伏，而通带被称为起伏带。于是的含义就是相应曲线离开起伏带边界点处的频率。幅度在过了以后就会下降从而进入阻带。阻带是一个基本上达到完全衰减的频率区域。阻带用某些最小允许衰减对其进行了详细标定，如Amin=60dB。阻带开始处的频率记为。因为比值给出了一种响应陡峭程度的度量，所以它被称为选择性因子。介于和之间的频率范围称为过渡带，或者边缘。某些滤波器近似以增大其他带内起伏为代价换取过渡带内下降曲线斜率的最大化。cccs/sccs低通情况下所给出的一些术语，可以很容易地扩展到图4.1（b）所示的高通，以及图4.2所示的带通和带阻的情况中去。图4.2（a）带通响应；（b）带阻响应的幅度限制随着传递函数阶数n的增加，引入了其他的一些以高价多项式系数形式出现的参数。这些系数为设计者在给出幅频和相频特性时提供了更多的自由度，因而可以获得更好的优化程度。在这些各种各样的近似中，有一些近似一直以来令人感到满意，于是就在滤波器手册中详细列出了它们的系数表。它们是巴特沃兹、切比雪夫、考尔和贝塞尔近似。滤波器表格中列出了截止频率为1rad/s的各种近似的分母多项式的系数。例如，五阶巴特沃兹响应的系数是b0=b5=1,b1=b4=3.236和b2=b3=5.236。于是54321()3.2365.2365.2363.2361Hssssss（4.2）另外一种方法是把H(s)表示式分解成阶数≤2的因式乘积的形式，然后再列出这些因式系数的表。若用这种方法来表达，上式变为22111()0.618011.618011Hssssss（4.3）cs高阶滤波器的设计是从选择最适合应用要求的近似开始的，然后是确定，，Amax和Amin。后者是利用滤波器手册和计算机程序求得阶次n的关键。确定了n以后，有源滤波器的设计者就有了很多的选择，其中最为常用的是级联方式和RLC梯形仿真方式。级联方式是通过级联第3章中所研究过的低阶节来获得所需要的响应。而梯形仿真方式则是使用诸如回旋器和频率负阻的有源阻抗转换器，来模仿能满足要求的无源RLC滤波器原型的。若选择级联设计方式，接下来是确定各个部分的和Q值（也可能是）；若选择梯形仿真方式，则要确定各部分的R，L和C的值。这些数据可以通过滤波器表格和计算机程序来获得。这些计算机程序是由运算放大器制造商提供用来扩大产品的应用的。0z巴特沃兹近似巴特沃兹近似的增益是221()1(/)ncHj(4.4)式中n是滤波器的阶次，是截止频率，是一个决定最大通带起伏量的常数。例如。的2n-1阶导数在处的值为零，表明曲线在处最大平滑。由于巴特沃兹曲线在附近变成圆弧形，而且在阻带以-20ndB/dec的斜率滚降，因而被贴切地称为最大平坦。图4.4（a）示出了时的情况，可见n的阶数越高，则响应曲线越逼近理想模型。c22max1010()20log110log(1)cAA0()Hj0c1图4.4（a）巴特沃兹响应切比雪夫近似有时候响应曲线的锐截止比最大平坦更为重要。切比雪夫滤波器以引入通带起伏为代价，使过渡带曲线下降的斜率最大化，如图4.4（b）所示。一般来说，对于给定的，若越大，则过渡带就越窄。若一个n阶切比雪夫近似的截止频率为，且满足，则它的增益为minAmaxAc2max1010log1A221()1(/)ncHjC（4.5）式中，称为n阶切比雪夫多项式，定义如下：(/)ncC(/1)cos[arccos(/)]nccCn(/1)cosh[arccos(/)]nccCn（4.6b）（4.6a）由上式可得和。另外，在通带内使余弦项取0和1的频率处，的值分别取最大峰值1或最小谷值。包括起点在内的这些最大值和最小值的个数等于n。2(/1)1ncC2(/1)1ncC()Hj21/1图4.4（b）1dB切比雪夫响应巴特沃兹近似仅仅在通带末端才呈现出对直流值的明显偏离，与此形成对照的切比雪夫近似则通过增加通带内的起伏来提高它的过渡带特性。切比雪夫响应在直流处的分贝值若n是奇数时为0，n是偶数时则为。由于切比雪夫滤波器可以用低于巴特沃兹滤波器的阶次来实现给定的过渡带截止速率，因而降低了电路的复杂性和价格。然而，切比雪夫响应在过渡带以外就像同阶的巴特沃兹响应一样，也以-20ndB/dec滚降。max0A切比雪夫，俄文原名Пафну́тийЛьво́вичЧебышёв，（1821年5月26日－1894年12月8日），俄罗斯数学家。4.2级联设计这种方法是基于可以将传递函数H（s）因式分解后化成低阶项乘积的形式来实现的。如果阶次n是偶数，那么分解后的式子由n/2个二阶项组成：123/2()()()()...()nHsHsHsHsHs(4.7)如果阶次n是奇数，则分解后的式子就会含有一个一阶项。有时可将这个一阶项与二阶项中的一个合并而产生一个三阶项。如果存在一阶项，则可用纯粹的RC或CR网络来实现，于是仅仅需要知道的是所要求的频率。二阶项则可以用从3.5节到3.6节所介绍的任何一种滤波器来实现。对于每一级，都需要知道它的和Q，如果这一级是带阻的话，还需要知道。如前所述，这些数据可以通过滤波器手册或者利用计算机计算而获得。00z22111()0.618011.618011Hssssss我们找出一些H(s),令我们满意，比如巴特沃兹函数。54321()3.2365.2365.2363.2361Hssssss高阶滤波器设计思路低阶滤波器满足不了应用增大传递函数阶数找到最佳传递函数巴特沃兹切比雪夫考尔贝塞尔将传递函数H（s）因式分解级联的低阶滤波器高阶滤波器控制幅度和相频响应级联方式具有很多优点。每一节的设计相对较简单，元件值也一般较低。每节低输出阻抗消除了级间负载效应，因此如果需要的话，可以将每节看成是独立于其他部分的，从而可以单独进行协调。由于可以使用一些标准模块来设计出各种各样和更加复杂的滤波器，因此从经济的角度来看，这种设计方式本身的模块化是很吸引人的。从数学的角度开说，各部分级联的顺序是没有关系的。然而在实际应用中，由于在高Q的节中可能存在信号箝位，因此为了避免动态范围的损失和滤波器精度的降低，可以把各节按Q值升高的顺序级联在一起，即把低Q值的节放在信号通路的第一级上。但是，这种级联顺序并没有考虑到在高Q值节中可能成为关注的内部噪声的影响。高Q模块中任何落在谐振峰值处的噪声都可能会被显著放大。因此，应将高Q部分放在级联顺序中的前列来减少噪声。一般而言，最优的级联顺序是根据输入信号的频谱，滤波器类型，以及各部分的噪声特性来进行选取的。低通滤波器设计表4.1列举出进行级联设计时所需的若干数据。巴特沃兹和贝塞尔分别对不同的n值列出了它们的数据，切比雪夫则是对不同的n和而列出。（表中示出了对应于和的数据）。考尔则是对不同的n，和列出（表中未示出）。频率则是通过对1Hz的截止频率归一化来表示的。这个频率在巴特沃兹和贝塞尔情况下与-3dB频率相重合，而在切比雪夫和考尔情况下代表响应离开起伏带时的频率。把表中归一化的频率与将要设计的滤波器截止频率相乘，可以得到实际频率maxAmax0AdBmax1.0AdBmaxAminAcf00()tablecfff（4.8a）考尔滤波器表中不仅含有极点频率，而且还含有零点频率。零点频率可按下式进行转换：()zztablecfff（4.8b）低通滤波器常用来与模数转换（A-D）和数模转换（D-A）相连接。由著名的采样定理可知，输入到A-D转换器的信号带宽必须限制到低于采样频率的一半，这样才不会产生混叠。与此相类似，D-A转换器的输出信号为了不受离散化和时间采样的影响，也必须进行适当的平滑。以上两个任务都可以由在采样频率一半的频率处提供足够大衰减的低通滤波器实现。表4.1利用软件设计满足要求的幅频、相频响应特性曲线滤波器电路高通滤波器设计因为高通传递函数可以通过把低通传递函数中的换成后得到，以及表4.1所列出归一化频率在高通滤波器设计中仍然可以使用，只要实际频率由表中频率按如下方式来获得0/s01/(/)s00()/ctablefff0()/zztablefff（4.9a）（4.9b）cf即可，式中是将要设计的滤波器的截止频率。4.3通用阻抗转换器阻抗转换器是一种有源RC电路，可用来在有源滤波器总综合电路中模仿像电感一类与频率有关的器件。在多种不同结构中，图4.13所示通用阻抗转换器(GIC)是应用最为广泛的一种。它不仅可以模仿电感，而且还可以综合出和频率有关的电阻。图4.13通用阻抗转换器（GIC)图4.14求GIC对地的等效阻抗为了求出从A点看进去的等效阻抗Z，可在图4.14所示电路中加一个测试电压V，会产生电流I,于是就有Z=V/I。由于运算放大器都有，所以可将两个运算放大器输入端电压都标记成V。由欧姆定律，可得npVV11VVIZ然后分别在Z2和Z3的公共节点以及Z4和Z5的公共节点对电流求和，可得12230VVVVZV24500VVVZZ消去V1和V2，对Z=V/I求解，可得13524ZZZZZZ(4.10)可以根据Z1到Z5不同的元件类型来将电路组成各种不同的阻抗类型。其中最有意思与最有用途的电路如下所述：1.除了Z2（或Z4）是电容以外，其他的Z都为电阻。令（4.10）式中可得221/ZjC12524(1/)RRRZjLjCR13524RRRCLR（4.11a）（4.11b）由此可知，该电路模仿的是一个接地电感。如图4.15（a）所示。如果需要的话，可以通过调节其中的电阻如R5来改变它的电感值。图4.15（a）电感模仿器；（b）D元件实现2.除了Z1和Z5是电容以外，其他的Z都为电阻。令（4.10）式中和，可得111/ZjC551/ZjC135224(1/)(1/)1jCRjCZRRD24153RRCCDR（4.12a）（4.12b）此时该电路模仿的是一个接地频变负阻（接地FDNR）。因为电容会产生一个和电流的积分成比例的电压，所以FDNR（也常称为D元件）可以被看成对电流积分两次的一种元件。它的GIC实现和电路符号所示图4.15（b）中，对它的应用后面会作简单说明。D元件的值可以通过改变其中的一个电阻值来进行调节。图4.16示出了另外一种常用的D元件实现电路。毋庸置疑，模仿阻抗的性能不可能有电路中所使用的电阻、电容和运算放大器的性能那样好。为了得到好的结果，可以采用金属膜电阻和NPO陶瓷电容来获得温度的稳定性，以及采用聚丙烯电容来获得高Q特性。也可采用具有足够快动态响应的双运算放大器。图4.16另一种D元件电路采用接地电感的电路综合GIC最常应用在源自于无源RLC滤波器原型的无电感滤波器的实现。设计过程如下：先设计出一个满足给定条件的RLC滤波器，然后再将原电路中的电感