2003-数一真题、标准答案及解析

梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-1-页共22页2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx=.（2）曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.（3）设)(cos02xnxaxnn，则2a=.（4）从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为.（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他,10,0,6),(则}1{YXP.（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布)1,(N，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOx（2）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx，则梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-2-页共22页(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[]（4）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为nm矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.[]（6）设随机变量21),1)((~XYnntX，则(A))(~2nY.(B))1(~2nY.(C))1,(~nFY.(D)),1(~nFY.[]三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分）将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数，并求级数012)1(nnn的和.五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(yxyxD，L为D的正向边界.试证：(1)dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin;(2).22sinsindxyedyxexLy六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-3-页共22页（注：m表示长度单位米.）七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF，ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(，其中}),,{()(2222tzyxzyxt，}.),{()(222tyxyxtD(1)讨论F(t)在区间),0(内的单调性.(2)证明当t0时，).(2)(tGtF九、（本题满分10分）设矩阵322232223A，100101010P，PAPB*1，求B+2E的特征值与特征向量，其中*A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）设总体X的概率密度为梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-4-页共22页,,,0,2)()(2xxexfx其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21，记).,,,min(ˆ21nXXX(1)求总体X的分布函数F(x);(2)求统计量ˆ的分布函数)(ˆxF；(3)如果用ˆ作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-5-页共22页2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx=e1.【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(102)(coslimxxx=xxxecosln)1ln(1lim20,而212cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim02020xxxxxxxxxx，故原式=.121ee【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx，所以原式=.121ee（2）曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx.【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定.【详解】令22),,(yxzzyxF，则xFx2，yFy2，1zF.设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为}1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，因此有11422200yx，可解得2,100yx，相应地有.520200yxz故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2zyx，即542zyx.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-6-页共22页（3）设)(cos02xnxaxnn，则2a=1.【分析】将)()(2xxxf展开为余弦级数)(cos02xnxaxnn，其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan.【详解】根据余弦级数的定义，有xdxxdxxa2sin12cos202022=002]22sin2sin[1xdxxxx=000]2cos2cos[12cos1xdxxxxxd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为2132.【分析】n维向量空间中，从基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵P满足[n,,,21]=[n,,,21]P，因此过渡矩阵P为：P=[121],,,n[],,,21n.【详解】根据定义，从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为P=[121],[21111011],121.=.213221111011（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他,10,0,6),(则}1{YXP41.【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0zYXgP，一般可转化为二重积分}),({0zYXgP=0),(),(zyxgdxdyyxf进行计算.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-7-页共22页【详解】由题设，有}1{YXP121016),(yxxxxdydxdxdyyxf=.41)126(2102dxxxy1DO211x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1yx的公共部分D，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布)1,(N，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(【分析】已知方差12，对正态总体的数学期望进行估计，可根据)1,0(~1NnX，由1}1{2unXP确定临界值2u，进而确定相应的置信区间.【详解】由题设，95.01，可见.05.0于是查标准正态分布表知.96.12u本题n=16,40x,因此，根据95.0}96.11{nXP，有95.0}96.116140{P，即95.0}49.40,51.39{P，故的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第-8-页共22页二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D)一个极小值点和两个极大值点.(E)两个极小值点和一个极大值点.(F)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分