2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一(下)3月月考数学试卷

2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1D．sin215°+cos215°2．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）A．﹣3B．C．3D．3．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．5．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2xB．y=2cos2xC．D．y=2sin2x6．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况（）A．无解B．有一解C．有两解D．不能确定7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．39．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A．﹣B．﹣C．±D．±10．有以下命题：①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；②对任意的△ABC都有等式a=bcosA+ccosB成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．其中正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：（每小题5分，共25分）11．如果定义在区间[3+a，5]上的函数f（x）为奇函数，那么a的值为．12．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[﹣2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，﹣2]时是减函数，则f（1）等于．13．在△ABC中，若∠A=60°，边AB=2，S△ABC=，则BC边的长为．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．15．在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cos2A=cos2B，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是．三、解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．分别根据下列条件解三角形：（1）a=，B=45°．（2）a=2，b=2，C=15°．17．已知函数y=4cos2x﹣4sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）求出函数的最小正周期；（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；（3）求出函数的单调增区间；（4）求出函数的对称轴．18．已知cosα=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ．19．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东60°，B点北偏西45°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西75°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边，向量，．（I）求角B；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．21．已知非零函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）f（x2）当x＞0时，f（x）＞1（1）判断f（x）的单调性并予以证明；（2）若f（4cos2θ）•f（4sinθcosθ）=1，求θ的值；（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，]时，使不等式f[cos2θ﹣（2+m）sinθ]•f（3+2m）＞1对所有的θ恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1D．sin215°+cos215°考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系．解答：解：∵故选B点评：能将要求的值化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力．2．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于（）A．﹣3B．C．3D．考点：两角和与差的正切函数．分析：根据两角和与差的正切公式，代入即可得到答案．解答：解：∵tanα=3，∴故选D点评：本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．3．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．解答：解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．4．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．分析：通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．解答：解：原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°﹣223°）=cos（﹣60°）=．故答案选B点评：本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．5．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2xB．y=2cos2xC．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．6．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况（）A．无解B．有一解C．有两解D．不能确定考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，求解即可．解答：解：由正弦定理得：即，解得sinB=，因为，sinB∈[﹣1，1]，故角B无解．即此三角形解的情况是无解．故选A．点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理的应用．专题：综合题．分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．解答：解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．8．函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．9．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（）A．﹣B．﹣C．±D．±考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由B为三角形的内角，以及cosB的值大于0，可得出B为锐角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB的值大于sinA的值，利用正弦定理得到b大于a，根据大角对大边可得B大于A，由B为锐角可得出A为锐角，再sinA，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用诱导公式得到cosC=﹣cos（A+B），再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B为锐角，∴sinB==，又sinA=，∴sinB＞sinA，可得A为锐角，∴cosA==，则cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣．故选A点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10．有以下命题：①对任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；②对任意的△ABC都有等式a=bcosA+ccosB成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若A，B是钝角△ABC的二锐角，则sinA+sinB＜cosA+cosB．其中正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的求值．分析：①通过sin3α=sin（α+2α）、利用二倍角公式及平方关系化简可知正确；②利用正弦定理化简可知正确；③假设存在正整数k、k+1、k﹣1分别为三角形ABC的三边长，且其对应的角分别为A、B、C，利用三角形内角和可知36°＜C＜45°，利用正弦定理化简可知cosC=+，进而求出不等式＜+＜的正整数解并检验即得结论；④通过A、B是钝角△ABC的二锐角可知0°＜B＜90°﹣A＜90°，进而sinB＜sin（90°﹣A）=cosB，同理cosA＞cos（90°﹣B）=sinA，整理即得结论．解答：解：①对任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）=sinαcos2α+cosαsin2α=sinα（cos2α﹣sin2α）+2sinαcos2α=sinα（1﹣2sin2α）+2sinα（1﹣sin2α）=3sinα﹣4sin3α，故①正确；②对任意的△ABC都有===2R，∴a=2RsinA=2Rsin（B+C）=2RsinBcosC+2RsinCcosB=bcosC+ccosB，故②正确；③假设存在正整数k、k+1、k﹣1分别为三角形ABC的三边长，且其对应的角分别为A、B、C，∴===2R，∵B=2C，∴sinB=sin2C=2sinCcosC，∴=，即cosC=+，又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，∴36°＜C＜45°，∴＜cosC＜，即＜+＜，∴﹣＜＜﹣，∴+1＜k﹣1＜2，∴+2＜k＜3，∴k=4或k=5，经检验可知当k=5时不满足题意，故③