1.1.2弧度制

在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？周角的为1度的角。1360这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。1.圆心角、弧长和半径之间的关系：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角。ABABrr=定值，设α=nº，弧长为l，半径OA为r，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与α的大小有关。AB22,360360rllnnr结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。3.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；(2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。4.公式：，表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。lr5.弧度制与角度制的换算①用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.②平角、周角的弧度数：平角=rad、周角=2rad.③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.④角的弧度数的绝对值:（l为弧长，r为半径）rl⑤∵360=2rad，∴180=rad∴1=rad0.01745rad18018057.305718'1rad例1题型一角度制与弧度制的转化将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】(1)20°＝20π180＝π9；(2)－15°＝－15π180＝－π12；(3)7π12＝180π×7π12°＝712×180°＝7×15°＝105°；(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【名师点评】(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键．由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．跟踪训练1．将下列角转化为另一种度量形式表示．(1)－18°；(2)310π；(3)－2rad.解：(1)－18°＝π180×(－18)rad＝－π10rad.(2)310π＝310π·(180π)°＝54°.(3)－2rad＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°.例2.填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π64322334563276544353741166．扇形的弧长及面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝|α|·rS＝12lr＝12|α|r2题型二弧长、扇形面积的有关计算例3直径为20cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积．(1)4π3；(2)165°.【解】(1)l＝|α|·r＝43π×10＝403π(cm)，S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2003π(cm2)．(2)165°＝π180×165rad＝1112πrad.∴l＝|α|·r＝1112π×10＝556π(cm)，S＝12l·r＝12×556π×10＝2756π(cm2)．练习：在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得4343lR（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.2121所以α=4.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：l＝|α|·r，S＝12lr＝12|α|·r2，其中α为圆心角的弧度数，r为扇形的半径．要把握好上述公式，需注意以下两个方面：(1)由上述公式可知，由α、l、r、S中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．例3用弧度制表示第三象限的角为____________．【解析】α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z误区解密因角度制与弧度制混用而出错【例题】将－1485°化成2kπ＋α(0≤α2π.k∈Z)的形式为________．错解：因为－1485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，所以－1485°化为2kπ＋α形式应为－10π＋315°.答案：－10π＋315°错因分析：只考虑了将－1485°写成了“2kπ”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．正解：由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋74π.答案：－10π＋74π纠错心得：表示角时，要么全用角度制．要么全用弧度制．不能混用．