磁流体力学笔记初稿

1磁流体力学1.1流体力学1.1.1近似与性质平均自由程特征长度L平均碰撞时间特征时间性质：易流动性，粘性，不可压缩性1.1.2流体运动的两种描述1.拉氏：~r=~r(t;a;b;c)，a;b;c为拉氏变数着眼点：流体元；流线：流体元的轨迹。2.欧拉：~u=~u(t;x;y;z)；着眼点：空间坐标流线：流场中存在一些曲线，t时刻曲线上任何一点的切线方向与该点流体的速度速度方向相同，这种曲线称为流线。dxux=dyuy=dzuz=0流线方程d~udx;d~udy;d~udz=0均匀场d~udt=0定常场，此时流线迹线重合ddt=@@t+~u
r随体微商=当地微商+迁移微商性质：流线互不相交；流管内外流线不会穿越流管1.1.3应力张量~Pn=^n
!P;^n=(^ex+^ey+^ez)!P为应力张量理想流体：!P=P!I=p000p000p粘滞流体：!P=2!S(p+23r
~u0r
~u)!I其中，!S=@ux@x12(@ux@x+@ux@y)12(@uz@x+@ux@z)12(@uy@x+@ux@y)@uy@y12(@uz@y+@uy@z)12(@uz@x+@ux@z)12(@uz@y+@uy@z)@uz@z1.1.4流体力学基本方程1.连续性方程@@td=~u
d~@@t+r
(~u)=0不可压缩条件ddt+r
~u=0r
~u=02.运动方程(d~udt)d=~gd+~Pndd~udt=~g+r
!Pd~udt+(~u
r)~u=~g+r
!P对理想流体有r
!P=rp，故有d~udt=~grp假如为粘滞流体，有d~udt=~grp+(3+0)r(r
~u)+
~u3.能量方程ddt(+~u22)d=~g
~ud+~Pn
~ud~q
~nd右边=~g
~ud+r
(~u
!P)d(r
~q)d@@t(+~u22)+r
[~u(+~u22)]=~g
~u+r
(!P
~u)r
~qddt(+~u22)=~g
~u+r
(!P
~u)r
~q1.2磁流体力学1.2.1动理论矩方程Boltzmann方程:@f@t+!v
@f@!r+qm(!E+!v!B)@f@!v=(@f@t)c零阶矩：n(t;!r)=
f(t;!r;!v)d!v,粒子数密度一阶矩：m!u=mn
f(t;!r;!v)!vd!v,粒子宏观速度二阶矩:!P=m
f(t;!r;!v)(!v!u)(!v!u)d!v压强张量三阶矩:!q=m2
f(t;!r;!v)(!v!u)(!v!u)2d!v热流矢量!c=!v!u,!c为粒子无规运动速度，h!ci=0定义h(t;!r;!v)i=1n
(t;!r;!v)f(t;!r;!v)d!v
@f@td!v＝@@t[nhi]nD@@tE
!v
@f@!rd!v=@@!r
[nh!vi]nD@@!r
!vE
!a
@f@td!v=nD!a
@@!vE1.2.2等离子体宏观方程（单液体描述）1.连续性方程（令(t;!r;!v)=1）@n@t+r
(n!u)=02.运动方程（令!(t;!r;!v)=m!v）@@t[nhi]=@@t[nhm!vi]=@@t(mn!u)h!v!vi=!Pmn+!u!u=)@@!r
[nh!vm!vi]=r
(!P+mn!u!u)@(m!v)@!v=m!I;h!ai=qm(!E+!u!B)=)nD!a
@@!vE=nmh!ai=nq(!E+!u!B)
m!v(@f@t)cd!v=!Rm@(n!u)@t+r
!P+mnr
(!u!u)nq(!E+!u!B)=!Rr
(!u!u)=(r
!u)!u+(!u
r)!u3.能量方程（令(t;!r;!v)=12mv2）32nT=12mnc2
mv22@f@td!v=32nT+12mnu2
mv22!v
!vd!v=r
[!q+!P
!u+32nT+12mnu2!u]
mv22qm(!E+!v!B)
@f@!vd!v=!E
!j
mv22(@f@t)cd!v=Q32ndTdt+12mndu2dt+r
!u+r
!qr
(!
!u)!j
!E=Q1.2.3双流体描述@n@t+r
(n~u)=0mn(@~u@t+~u
r~u)=rp+r
!+qn(~E+~u~B)+~Rmnddt(+12u2)+rp
~u+r
~qr
(!
~u)~j~E=QMaxwell方程组：r
~E=1∑nqr~E=@~B@tr
~B=0r~B=@~E@t+∑nq~u1状态方程：p=const:(@~u@t+~u
r~u)=q~E+~j~Br
!P;!P=!Pi+!Pe~Ri=
mi~i(@fi@t)cd~vi=einimemime+mi(~ue~ui)1.2.4广义欧姆定律假定：1.理想气体!=02.电中性ne=ni=n3.局部热平衡4.含me/mi的项可忽略emi~Rieme~Re=e(1mi+1me)~Re=eien(~ui~ue)=~j@~j@t+r
(~u
~j+~j
~u)=e2memi(~E+~u~B)mimememie~j~Bemer
(memiie)~j~E+~u~B+1ne(rPe+~j~B)~j=mene2@~j@t;=2mene21、2Lorentz力；3热压力；4Hall电动力；5电阻效应各项比：1:1:(!!ci)(CsU)2:(!!p)(!ce!p)(CU)2:(!!p)(ei!ci)(CU)2:(!!p)2(CU)2其中，C光速；U!L特征速度；L特征长度；T1!特征时间；!ci=eBmi;!ce=eBme回旋频率；!p=(nie2me0)12等体频率；Cs=√p声速。!!pUC，@~j@t可以忽略!!ce!2pU2C2，~j~B可忽略：~E+~u~B=~j!!ciU2C2s，rpe可忽略：~j=(~E+~u~B)1.3磁压力和磁张力磁场作用力~f=~j~B=120rB2+10r
(~B~B)=r
(10~B~BB220!I)=r
!T!T=10(~B~B12B2!I)~F=~fd=!Td~=10~B(~B
^n)d+(B220^n)d1.4磁场的描述1.4.1力线方程：d~ldl=~BB直角坐标：dxBx=dyBy=dzBz柱坐标：drBr=rdB=dzBz环坐标：drBr=rdB=RdB1.4.2磁力线的标量场表示法~B=rr=r0r0@(0;0)@(;)=J=1,(;)!(0;0)等面积变换1.4.3轴对称下的磁面和磁面坐标满足(~r;t)=const:，r
~B=0为磁面1.轴对称@@=0r
~B=0)1r@(rBr)@r+@Bz@z=0令Bz=1r@@r;Br=1r@@z~B=1rr^e+B^e2.环形磁场~B=1Rr^e+B^eBR=12R@@z;Bz=12R@@R~B
r=BR;~B
r=Brq=~B
r~B
r=rBRB，安全因子表示磁力线绕小环一周，需要绕大环的圈数1.5磁冻结和磁扩散磁感应方程：r~E=@~B@t;r~B=~j欧姆定律：~j=(~E+~u~B)@~B@t=r(~u~B)+mr2~B;m=10为磁粘滞系数jr(~u~B)jjmr2~Bjj~u~Bjjmr~BjUBmBL1=ULm=Rm磁雷诺数1.磁扩散效应(Rm1)@~B@t=mr2~Bm=L2m为趋肤时间，
lm=√0为趋肤厚度稳态@@t=0r(~u~B)+mr2~B=0,r(~u~Bmr~B)=0~u?~B+mr~B=0)~u?=1B20[~B(r~B)]=1B2~B~j运动方程d~udt=rp+~j~B)rp=~j~B~u?=r?pB2=(Ti+Te)r?nB2;=1=ne2miei~u?=D?r?nn;D?=miei(Ti+Te)e2B2磁扩散的本质是电磁感应@Wm@t=@@tB220d=~B0
@~B@td=m[r
(~j~B)d+(r~B)
~jd]=m(r~B)
~jd=0mj2d=j2d2.磁冻结效应(Rm1)@~B@t=r(~u~B);磁冻结方程=~B
d~ddt=lim
t!01
t[2~B(t2)
d~1~B(t1)
d~]=lim
t!01
t[1~B(t2)
d~1~B(t1)
d~]lim
t!01
tc1~B(t2)
(d~l~u)
t=@@t1~B
d~c1~B(t2)
(d~l~u)=02磁力线冻结在流体中@~B@t=r(~u~B)=(r
~B)~u+(~B
r)~u(r
~u)~Bd~Bdt=(~B
r)~u(r
~u)~B=(~B
r)~u+~Bddtddt(~B)=(~B
r)~u;ddt(~r)=(~r
r)~u2磁流体力学平衡2.1基本方程平衡方程：rp=~j~B~B
rp=~B
(~j~B)=0，磁力线在等压面上~j
rp=~j
(~j~B)=0，电流线在等压面上r(p+B220)=10r
(~B~B)=10[~B
(^br)B+B2(^b
r)^b]1.当磁力线是直线时^b=常矢量，r=r?+rk，r?(p+B220)=0)p+B220=常数=B2e20，Be为边界上的磁场平衡要求磁场为“磁阱”结构2.磁力线不是直线，但磁场为轴对称~B=B(r)+Bz(r);(~B
r)~B=B2r^er@@r[p+120(B2+B2z)]=B2r0，两边乘1a2
a0r2drDp+B2z20E=pa+B2e+B2ze20=const:平衡时的电流rp=~j?~B)~j?=1B2rp~B@q@t+r
~j=0;@@t=0)rk
~jk+r?
~j?=0d~jkdlk=r?
~j?=r
(1B2rp~B)=1B2r
(rp~B)+r(1B2)
(rp~B)=1B2(rrp)1B2(r~B)
rp1B3rB
(rp~B)=2B3rp
(rB~B)~B=B0(1rR0cos)^e'+B^e(rB~B)r=(rB)B'=B20R0sinjk=C+
ll02B0R0dpdrsindlkdlk=dlkdd=kB(0)+
02B0dpdrsind=kB(2)2qB0dpdrcos第一项为无力电流，第二项为Pfirsch-Schluter电流2.2一维位型2.2.1几个具体装置1.-Pinch~j=(0;j(r);0);~B=(0;0;Bz(r))r
~B=0;r~B=0~j)j=10@Bz@rrp=~j~B)jBz=dpdr)ddr(p+B2z20)=0;p+B2z20=B2020;B0为r=a处磁场典型情况p=p0er2a2;Bz=B0(10er2a2)12;0=20p0B20(r)=p(r)p(r)+B2z(r)2001-Pinch是所有磁約束装置中效率最高的缺点：两端开口，等离子体易逃逸，10s第一个产生核聚变中子的装置2.Z-Pinch~B=(0;B(r);0);~j=(0