北京市各区2017年中考数学二模试卷分类汇编---几何压轴题

1几何压轴题1昌平28.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，连接DG.（1）依题意在图1中补全图形；（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位置关系并在图2中加以证明；（3）当点E为线段AB的中点时，直接写出∠EDG的正切值.EDCBA图2图1ABCDE备用图ABCD22朝阳28.在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．(1)如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为．(2)已知AC=1，BC=3.①依题意将图2补全；②求CD的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：想法1:延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE.要求CD的长，需证明△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形.……请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）.(3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．图1图233东城28.取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；第二步：点G在线段MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP.（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连PC′，DC′，①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明.（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′，CC′，研究图形中特殊的三角形）GPNMBCAD图1DPBCA图24图2图1MEFNNFEMABCPPCBA4房山28.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为BC边上的一个动点（不与B、C重合）.点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连结MN交AB于点F，交AC于点E.（1）当点P为BC的中点时，求∠M的正切值；（2）当点P在线段BC上运动（不与B、C重合）时，连接AM、AN，求证：①△AMN为等腰直角三角形；②△AEF∽△BAM.55丰台28．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O.（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是，位置关系是.（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG.①依题意将图2补全；②小亮通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有22222AEADDG.小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接EG，要证明22222AEADDG，只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形.想法2：延长AD，GF交于点H，要证明22222AEADDG，只需证△DGH是直角三角形.图1图2请你参考上面的想法，帮助小亮证明22222AEADDG.（一种方法即可）OFEDCBAAEBFCDO66海淀28．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）EFBDCAAEBDC图1图277怀柔28．在△ABN中，∠B=90°，点M是AB上的动点（不与A,B两点重合），点C是BN延长线上的动点（不与点N重合），且AM=BC，CN=BM，连接CM与AN交于点P.（1）在图1中依题意补全图形;（2）小伟通过观察、实验，提出猜想:在点M，N运动的过程中，始终有∠APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路:要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明∠APM=45°.他们的一种作法是：过点M在AB下方作MDAB于点M,并且使MD=CN.通过证明△AMD△CBM,得到AD=CM,再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DN=CM，进而证明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形，推得∠APM=45°.使问题得以解决.请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明∠APM=45°.图1ABN备用图ABN88石景山28．已知在RtBAC△中，90BAC°，ABAC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CE⊥BC于点C，且CEBD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．（1）如图，当点D在线段BC上时，请直接写出ADE的度数.（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若2AB，直接写出CP的最大值．图1图2备用图EABCDABCDPEABCD99顺义28．在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．（1）如图1，若∠B=30°，AC=√，请补全图形并求DE的长；（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，小明通过观察、实验提出猜想：CE=2EF．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过A作AM∥BC交CF的延长线于点M，先证出△ABE≌△CAD，再证出△AEM是等腰三角形即可；想法2：过D作DN∥AB交CE于点N，先证出△ABE≌△CAD，再证点N为线段CE的中点即可．请你参考上面的想法，帮助小明证明CE=2EF．（一种方法即可）10通州1028．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°.以AB为斜边作等腰直角三角形ADB.点P是直线DB上一个动点，连接AP，作PE⊥AP交BC所在的直线于点E.（1）如图1，点P在BD的延长线上，PE⊥EC，AD=1，直接写出PE的长；（2）点P在线段BD上（不与B，D重合），依题意，将图2补全，求证PA=PE；（3）点P在DB的延长线上，依题意，将图3补全，并判断PA=PE是否仍然成立.图1图2图3PEDCBADCBADCBA1111西城28．△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．（1）如图1，①求证：AC垂直平分BD；②点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2．求证：NA=MC．122017二模28题汇编答案（几何压轴）1昌平28.（1）依题意补全图形如图1：…………………………………………2分（2）判断：BD⊥EG.…………………3分证明：如图2，BD，EG交于M，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°由旋转可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°∴点B，C，F在一条直线上.∵点G与点F关于CD的对称∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF∴DE=DG，AE=CG∴BE=BG…………………………………………………4分∴BD⊥EG于M.……………………………………………………5分（3）∠EDG的正切值为43.…………………………………………………7分2朝阳28．解：（1）105°.（2）①补全图形，如图所示.②想法1：如图，∵∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CAD+∠CBD==180°.∵∠DBE+∠CBD==180°，∴∠CAD=∠DBE.图1FGABCDE图2FGABCDEM13∵DA=DB，AC=BE，∴△ACD≌△BED．∴DC=DE，∠ADC=∠BDE.∴∠CDE=90°.∴△CDE为等腰直角三角形.∵AC=1，BC=3,∴CE=4.∴CD=22.想法2：如图，∵∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CAD+∠CBD==180°.∵∠DAG+∠CAD==180°，∴∠CBD=∠DAG.∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，∴△BDH≌△ADG．∴DH=DG，BH=AG.∴∠DCH=∠DCG=45°.∴△CHD为等腰直角三角形.∵AC=1，BC=3，∴CH=2.∴CD=22.（3）2ACBCCD.143东城28.（1）△PBC是等边三角形.证明：在正方形ABCD中，BC=CD，又CD=CP，∴BC=CP，∵P在MN上，∴PB=PC.∴PB=BC=PC.∴△PBC是等边三角形.…………2分（2）①补全图形如图所示.由BA=BP，∠CBP=60°，可求得∠APB=75°,又∠BPC=60°，可得∠APC=135°.根据对称性，∠APC=∠APC’=135°.②证法一：连AC’，CC’.由①可得∠CPC’=90°.由对称性可知PC=PC’，从而可求得AC=AC’=CC’=2AB.从而△ACC’为等边三角形；由AC’=CC’，DA=DC，C’D=C’D，可证△AC’D≌△CC’D，可得∠AC’D=∠CC’D=30°.根据对称性∠AC’C=∠ACC’，∠PC’C=∠PCC’，从而∠AC’P=∠ACP，由△ABC为等腰直角三角形，可得∠ACB=45°，由△PBC为等边三角形，可得∠BCP=60°，从而∠ACP=∠AC’P=15°.所以∠PC’D=∠AC’D﹣∠AC’P=15°.…………8分证法二：连AC’，CC’.由BA=BP，∠CBP=60°，可求得∠APB=75°,又∠BAC=45°，可得∠CAP=30°.根据对称性，∠CAP=∠C’AP=30°,从而∠CAC’=60°；由对称性可知AC=AC’，从而△ACC’为等边三角形；以下同证法一.C'PNMBCAD15ABCPMEFN45321PCBANFEM4房山28.解：（1）连接NB，……………………1分∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°=∠PBA∵点P关于直线AB的对称点为N，关于直线AC的对称点为M，∴∠NBA=∠PBA=45°，NB=PB，MC=PC……………………2分∴∠MBN=∠PBN=90°∵点P为BC的中点，BC=2∴MC=CP=PB=NB=1，MB=3∴tan∠M=13NBMB=……………………3分(2)①连接AP∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，∴AP=AM=AN，∠1=∠2，∠3=∠4……………………4分∵∠CAB=∠2+∠3=45°∴∠MAN=90°∴△AMN为等腰直角三角形……………………5分②∵△AMN为等腰直角三角形∴∠5=45°∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1∵∠EAF=∠CAB=45°∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1∴∠AEF=∠BAM……………………6分又∵∠CBA=∠EAF=45°∴△AEF∽△BAM……………………7分5丰台28.解：（1）相等，垂直．.…………………………………………………………………………