《微积分基本定理》选修2-2

,1,.,,211033dxxdxxxxf例如分对于有些定积却比较麻烦的值计算但直接用定积分的定义非常简单虽然被积函数现从前面的学习中可以发.dxx121定义计算请你尝试利用定积分几乎不可能.??,,?,.和定积分的联系我们先来探究一下导数呢利用这种联系求定积分我们能否内在的联系呢这两个概念之间有没有导数和定积分的概念中两个最基本和最重要学我们已经学习了微积分另外方法求定积分呢加简便、有效的有没有更那么直接用定义计算?Stvts,Sb,atstvt,.tss,16.1'吗表示、你能分别用内的位移为设这个物体在时间段的速度时刻它在任意由导数的概念可知运动规律是物体的一个作变速直线运动的如图探究0ta1t1itit1ntntbBA1h1hihihnhnSΔiSΔ1SΔtssStSo16.1图.Stv,,来求位移由我们还可以利用定积分另一方面.asbsS,atbttssS,即处的函数值之差处与在是函数物体的位移显然①.nabtttΔ,t,t,t,t,t,t,t,t:nb,abttttta1iin1ni1i2110ni1i10每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点.tsnabtΔtstΔtvhSΔ,tv,tv,t,t,tΔ1i'1i'1iii1ii1i物体所作的位移作匀速运动体近似地以速度可以认为物的变化很小上在很小时当②PDCots1itsitsiSΔihtΔ1itittss26.1图.tΔtstΔDPCtanhSΔ,tsPD,,PPD,Pttss,26.11i'ii1i'1i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看n1iin1iihSΔS,16.1可得物体总位移结合图.tΔtstΔtv1in1i'n1i1i,b,a,tΔ,n,的分划就越细区间越小即越大显然1in1in1in1i'n1i1itvnablimS.StΔtstΔtV由定积分的定义有的近似程度就越好与1i'n1intsnablim.dttsdttvba'ba.asbsdttsdttvSba'ba有结合①.asbsb,atstv,tss,'分就是物体的位移上的定积在区间那么律是物体的运动规如果作变速直线运动的上式表明.aFbF|xFdxxf,|xFaFbF,bababa即记成我们常常把为了方便.xF,.xFxfxFdxxf,'ba法则从反方向求出算导公式和导数的四则运运用基本初等函数的求我们可以通常的函数是找到满足的关键计算定积分微积分基本定理表明又叫做这个结论叫做那么并且上的连续函数是区间如果一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.aFbFdxxf,xfxF,b,axf,ba'微积分基本定理LeibnizNewton(莱布尼兹公式牛顿).Formula()basvtdt()()ssbsa()()()bavtdtsbsa另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t)在［a,b]上的增量s(b)–s(a)来表达，即则有：一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)在t时刻时物体的速度为v(t)v(t)≥0,则汽车在时间间隔［a,b]内经过的位移可用速度表示为'()()stvt'()()()()babastdSvtdttsbsa【微积分基本定理】'()()()()babastdSvtdttsbsa一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且F’(x)=f(x)，那么()()()bafxdxFbFa这个结论叫微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼兹公式。()()|()()bbaafxdxFxFbFa()|baFx()()FbFa为了方便起见，还常用表示定理（微积分基本定理）如果()fx是在区间],[ba上的连续函数,并且()(),Fxfx，则)()()(aFbFdxxfba.记:()()()|baFbFaFx则:()()|()()bbaafxdxFxFbFa注意:1.当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.2.若()(),()()FxfxFxfx则称为的一个原函数3.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x11(1)(1)1bbnnaaxdxxnn(3)bbxxaaedxe1(4)lnbbxxaaadxaa12)ln(,0)bbaadxxabx(5)sincosbbaaxdxx(6)cossinbbaaxdxx12)ln()(,0)bbaadxxabx常用积分公式1(2)lnbbaadxxx例1计算下列定积分dxx10dxx102dxx1031、2、3、nxn+1bbaax公式2:dx=|n+1公式：解：1、xx'221）（21021121|212210210）（xdxx解：2、2'331xx）（31031131|3133103102）（xdxx解：3、3'441xx）（41041141|4144104103）（xdxx【例题讲解】例2计算下列定积分bbaa1公式1:dx=lnx|x公式：解1、2'1xx）（2112|11211212）（）（）（xdxx解2、1'lnxx）（2ln1ln2ln|ln21211）（xdxx解3、dxxdxdxx21212121)21(dxx212dxx2111、2、3、dxx21)21(2121|)(ln2|xxdxxdx21211212ln211ln2ln212）（）（例1求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是)0()ln(xx,dxx12112[ln()]|x.2ln2ln1ln.cossin,sin.sin,sin:2000xdxxdxxxdxx计算下列定积分例00'|cossin,sincosxdxxxx因为解;20cosπcos5.0|]4/2sin5.0[2/)2cos1(sin.sin200xxdxxxdxx0|4/2cos2/2sincos.sin000xdxxdxxx•A．6B．4•C．3D．2•[答案]D．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值是()[解析]1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，所以a2－1＝3a＝2，解得a＝2.故应选D.例3设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋201f(t)dt，求f(x)．[解析]∵201f(t)dt是一个常数∴可设f(x)＝x＋c∴01f(t)dt＝01(t＋c)dt＝12t2＋ct10＝12＋c∴c＝201f(t)dt＝1＋2c∴c＝－1∴f(x)＝x－1.例4的最大值。求已知)(,)2()(1022afdxxaaxaf例5