已知三角函数值求角

()()()()4.11.1已知三角函数值求角（一）（口答）求下列三角函数值=====sinX=,如何求角X？由正弦曲线可知：例1.求满足下列条件的角X的集合.（1）sinX=，且X[0，]XO1-1Y解：y=sinX在[0，]上是增函数,sin=符合条件的角有且只有一个，.即第一象限的角于是所求的角X的集合是{}（2）sinX=，且X[，]所求角X的集合是{}已知三角函数值求角（一）XO1-1Y求角X，关键在于找出满足条件的相应锐角（3）sinX=，且X[，]0已知三角函数值求角（一）sinX=0且X[0，]（3）sinX=，且X[，]0解：X是第一，二象限的角由正弦曲线的单调性sin（-)=sin=XO1-1Y可知在X[0，]上符合条件的角有且只有两个：第一象限的角或第二象限的角-即于是所求角X的集合是{，}（4）sinX=，且X[，]0所求角X的集合是{，}又sin=已知三角函数值求角（一）已知三角函数值求角的步骤可概括为：（1）定象限；（2）找锐角；（3）写形式（1）sinX=，且X[0，]（2）sinX=，且X[，]（3）sinX=，且X[，]0（4）sinX=，且X[，]0所求角X的集合是{，}所求角X的集合是{，}所求角X的集合是{}所求的角X的集合是{}我们发现：角的范围不同，所求角的集合有时相同，有时不相同.因此已知三角函数值求角时一定要注意角的范围。已知三角函数值求角（一）可知在X[0，]上符合条件的角有且只有两个，即第三象限的角+=或第四象限的角+=.例2（1）已知sinX=，且X[0，]，求X的取值集合sinX=0且X[0，],X是第三，四象限的角,由正弦函数的单调性和sin(+)=sin(-)=-sin=,于是所求的角X的集合是{，}而满足条件sinX=的锐角为,解：找锐角时，如果正弦值为负，则求出与其绝对值对应的锐角；如果正弦值为正，则可直接求出对应的锐角.已知三角函数值求角（一）满足条件sinX=0.5的锐角X=(已知非特殊三角函数值求角：除在求相应锐角时利用计算器外，其余步骤同前。利用计算器可求得满足条件sinX=-0.3332的锐角为,解析于是所求的角X的集合是{，}（2）已知sinX=-0.3332,且X[0，]，求角X的取值集合.上题答案也可以写成：{+arcsin0.3332,-arcsin0.3332}满足条件sinX=-0.3332的锐角X=满足条件sinX=0.65的锐角X=满足条件sinX=的锐角X=反正弦定义一般的，在闭区间[，]上，符合条件记做arcsina,即X=arcsina,其中X[，]，sinX=a（-1a1）的角X，叫做实数a的反正弦，且a=sinX,因为sinX=-0.33320,且X[0，]，所以角X是第三，四象限的角,已知三角函数值求角（一）（1）sinX=0.3332,且X[0，]，课堂练习1、求满足下列条件的角X的集合.（2）cosX=，且X[0，]，2、已知sin(-X)=,且X[0，]，求角X的集合.已知三角函数值求角（一）答案为{，}2、已知sin(-X)=,且X[0，]，求角X的集合.解析：应用诱导公式得sinX=.（1）sinX=0.3332,且X[0，]，答案为{，}（2）cosX=，且X[0，]，答案为{，}本节课我们重点研究了给值求角的步骤，当三角函数值不是1和0时可概括为：定象限，找锐角，写形式，如果要求出[0，]范围以外的角则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果。本讲小结：若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。用反正弦符号表示角。作业：课本：P771T、（1）（2）2T、（1）（2）3T、（1）（2）（3）4T、（3）（4）思考题求满足下列条件的角X的集合（1）sinX=1(2)sinX=已知特殊三角函数值求角已知非特殊三角函数值求角知识回顾cosX=a（-1a1）（2）{，}（1）满足条件cosX=-0.7660的锐角为于是所求的角X的集合为{}上题（2）的答案可以写成{-arccos0.7660,+arccos(-0.7660)}解析1：XO1-1Y-0.7660定义在闭区间[0，]上，符合条件记做arccosa,即X=arccosa,其中X[0，]，的角X，叫做实数a的反余弦，且a=cosX,反余弦求出对应的锐角；根据角的象限，利用诱导公式写[0，]间的角（，-，+，-）；由已知正弦值确定角所在的象限；具体可分如下三步（为方便先不考虑轴线角）：（定象限）（找锐角）（写形式）已知三角函数值求角（一）课堂练习：cosX=-0.76600且X[0,]X是第二象限的角利用计算器可求得满足条件cosX=-0.7660的锐角为()注意：除在求相应锐角时需利用计算器，其余步骤同前。可知在[0，]内符合条件的角有且只有一个，即第二象限的角于是所求的角X的集合是{}解：由余弦函数的单调性和cos（-）=-cos=-0.7660XO1-1Y-0.7660根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cosX=a（-1a1）的角有且只有一个，我们选择闭区间[0，]作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件cosX=a(-1a1)的角X，叫做实数a的反余弦，记做arccosa,即X=arccosa,其中X[0，]，且a=cosX,例如：=arccos(-0.7663),=arccos练习已知cosX=-0.7660，且X[0，]，求满足条件的角X的集合.XYO1-1例2（1）已知sinX=，且X[0，]，求X的取值集合已知三角函数值求角（一）（1）已知sinX=，且X[0，]，求X的取值集合课堂练习：（2）已知sinX=-0.3332,且X[0，]，求满足条件的角X由正弦曲线可知：增函数,且sin=因此符合条件的角有且只有一个，即.于是所求的角X的集合是{}解：sinX=，且X[,].y=sinX在[，]上是XYO1-1X是第一象限的角例1(1)已知sinX=，且X[,]，求X的取值集合.学习要求知识讲解课堂练习本课小结课后作业学习要求利用三角函数的图象、符号规律、诱导公式及使用计算器的方法等项知识和技能，学会已知一个三角函数值，求与它对应的角的方法；为今后学习解三角方程、三角不等式等奠定基础。※4.11.1已知三角函数值求角（一）2.答案为{，-}解析：应用诱导公式得sinX=，所角X是第一，二象限角，求得锐角=，故第一象限的角为或第二象限的角-=，所以所求角的集合为{，}1.答案为{}解析：在ABC中cosA=0.7660，所以A是锐角，因此A的集合为{}答案可以写成{arccos0.7660}已知角α的一个三角函数值求角α,要结合角所属范围和三角函数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的，而是有无数多个，其解法步骤可概括为：（1）由已知函数值的正、负确定所求角α所在的象限（定象限）；（2）如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求出对应的锐角；如果函数值为负，则先求出与其绝对值对应的锐角（找锐角）；（3）根据α所在的象限，得出0°～360°间的角（写形式）；（4）如果要求[0，]范围以外的角，则可利用终边相同的角的表达式写出（求全角）。本讲小结：若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。sinX=0且X[0，]因此在X[0，]上符合条件的角有且只有两个：第一象限的角或第二象限的角-即例1已知sinX=，且X[0,]，求X的取值集合.X是第一，二象限的角由正弦曲线可知：y=sinX在[0，]上是增函数,且sin=Y=sinX在[，]上是减函数，且sin（-)=sin=于是所求的X的集合是{，}XYO1-1解：=arcsin，定义在闭区间[，]上，符合条件记做arcsina,即X=arcsina,其中X[，]，且a=sinX,反正弦sinX=a（-1a1）的角X，叫做实数a的反正弦，例如：=-arcsin{arcsin,-arcsin}(2)已知sinX=，且X[0,]，求X的取值集合.XYO1-1答案也可以写成：{+arcsin(),-arcsin()}注意：由以上几例的解答,已知正弦三角函数值求给定区间的角具有共同的规律：例3已知cosX=，且X[0，]，求X的取值集合。cosX=0且X[0，]解：X是第二，三象限的角而满足条件tanX=的锐角为由余弦函数的单调性和cos(+)=cos(-)=-cos=可知在X[0，]上符合条件的角有且只有两个，即第二象限的角-=或第四象限的角-=.于是所求的角X的集合是{，}XYO1-1=arccos()，定义在闭区间[0，]上，符合条件记做arccosa,即X=arccosa,其中X[0,]，且a=cosX,反余弦cosX=a（-1a1）的角X，叫做实数a的反余弦，例如：=-arccos(){arccos(),-arccos()}例3已知cosX=，且X[0，]，求X的取值集合。Y1XYO1-1XYOXYOY=sinXY=cosX1-11-1知识回顾