2017年中考数学一轮复习课件：折叠问题资料

2017中考数学第一轮复习专题折叠问题折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题．根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．折叠后图形判断1．(2014·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是()D【解析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．2．(2014·黔南州)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是()A．AB＝CDB．∠BAE＝∠DCEC．EB＝EDD．∠ABE一定等于30°D对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度的判断．折叠后求角的度数1．(2014·赤峰)如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，求∠DAF的度数．解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°－55°＝35°，∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°2．(2014·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，求∠A的度数．【解析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠MCD＝∠MCA，从而求得答案．解：∵在Rt△ABC中，CM是斜边AB上的中线，∴AM＝MC＝BM，∴∠A＝∠MCA，∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，∴CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠MCD，∵∠A＋∠B＝∠B＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴∠BCD＝∠DCM＝∠MCA＝30°，∴∠A＝30°3．(2014·徐州)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，求∠CBE.∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝(180°－50°)＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝65°－50°＝15°4．(2014·牡丹江)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求tan∠EAF.∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝6，∴FC＝BC－BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD－DE＝8－x，在Rt△CEF中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝EFAF＝510＝12在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．折叠后求长度1．(2014·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．【解析】设BE＝x，则CE＝16－x，根据翻折的性质可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，利用勾股定理列式计算即可得解．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，∴AE＝16－6＝10，由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，∴FH＝AF－AH＝10－6＝4，在Rt△EFH中，EF＝EH2＋FH2＝82＋42＝452．(2014·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD＝3，BC＝5，求EF的值．【解析】先根据折叠的性质得EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD为矩形，在Rt△DHC中，利用勾股定理计算．解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角(∠A，∠B)向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA＝EF，BE＝EF，DF＝AD＝3，CF＝CB＝5，∴AB＝2EF，DC＝DF＋CF＝8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH＝AB＝2EF，HC＝BC－BH＝BC－AD＝2，在Rt△DHC中，DH＝DC2－HC2＝215，∴EF＝12DH＝154．(2014·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，求DE的长.连结BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，又由折叠可得AD＝AD′＝5，∴x2＋(7－x)2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，D′N＝5－3＝2，EN＝7－CN－DE＝7－3－a＝4－a，∴a2＝22＋(4－a)2，解得a＝52，即DE＝52；②当MD′＝4时，D′N＝5－4＝1，EN＝7－CN－DE＝7－4－a＝3－a，∴a2＝12＋(3－a)2，解得a＝53，即DE＝53在折叠问题中，利用对称性可得到相等的线段，通过三角形相似、勾股定理列出方程求解．折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理．折叠后求周长、面积1．(2014·孝感)如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，求S△DCES△ABE的值．【解析】过E作EM⊥AB于M，交DC于N，设AB＝AE＝BE＝2a，求出EN，根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案．解：过E作EM⊥AB于M，交DC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°，∴MN＝BC，∴EN⊥DC，∵沿AC折叠B和E重合，△AEB是等边三角形，∴∠EAC＝∠BAC＝30°，设AB＝AE＝BE＝2a，则BC＝2a3＝233a，即MN＝233a，∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，∴AM＝a，由勾股定理得：EM＝（2a）2－a2＝3a，∴△DCE的面积是12DC×EN＝12×2a×(3a－233a)＝33a2，△ABE的面积是12AB×EM＝12×2a×3a＝3a2，∴S△DCES△ABE＝33a23a2＝132．(2014·上海)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，用含t的代数式表示△EFG的周长．【解析】根据翻折的性质可得CE＝C′E，判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解：由翻折的性质得，CE＝C′E，∵BE＝2CE，∴BE＝2C′E，又∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠EBC′＝30°，∵∠FD′C′＝∠D＝90°，∴∠BGD′＝60°∴∠FGE＝∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°，∴∠EFG＝12(180°－∠AFG)＝12(180°－60°)＝60°，∴△EFG是等边三角形，∵AB＝t，∴EF＝t÷32＝233t，∴△EFG的周长＝3×233t＝23t3．(2012·泰安)如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB＝2，BC＝3，求△FCB′与△B′DG的面积之比．设BF＝x，则CF＝3－x，B′F＝x，又点B′为CD的中点，∴B′C＝1，在Rt△B′CF中，B′F2＝B′C2＋CF2，即x2＝12＋(3－x)2，解得x＝53，则CF＝3－53＝43，∵∠DB′G＋∠DGB′＝90°，∠DB′G＋∠CB′F＝90°，∴∠DGB′＝∠CB′F，∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，根据面积比等于相似比的平方可得S△FCB′∶S△B′DG＝(FCB′D)2＝(43)2＝1694．(2014·长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB＝AE，∠B＝∠E，∴AE＝CD，∠D＝∠E，在△AOE和△COD中，∠D＝∠E，∠AOE＝∠COD，AE＝CD，∴△AOE≌△COD(AAS)(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．∵△AOE≌△COD，∴AO＝CO，∵∠OCD＝30°，AB＝3，∴CO＝CD÷cos30°＝3÷32＝2，∴△AOC的面积＝12AO·CD＝12×2×3＝3在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积．折叠后结论探究1．(2014·遵义)如图，二次函数y＝43x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C.若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标；∵二次函数y＝43x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)，则0＝43·9＋3b＋c，0＝43·1－b＋c，解得b＝－83，c＝－4，∴y＝43x2－83x－4，∴C(0，－4)(2)当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQ⊥AP于F，∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，∴AP＝AQ＝QD＝DP，∴四边形AQDP为菱形，∵FQ∥OC，∴AFAO＝FQOC＝AQAC，∴AF3＝FQ4＝t5，∴AF＝35t，FQ＝45t，∴Q(3－35t，－45t)，∵DQ＝AP＝t，∴D(3－35t－t，－45t)，∵D在二次函数y＝43x2－83x－4上，∴－45t＝43(3－85t)2－83(3－85t)－4，∴t＝14564，或t＝0(与A重合，舍去)，∴D(－58，－2916)2．(2014·河北)图①和图②中，优弧AB︵所在⊙O的半径为2，AB＝23.点P为优弧AB︵上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A?.(1)点O到弦AB的距离是____，当BP经过点O时，∠ABA′＝；160°(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；过点O作OG⊥BP，垂足为G，∵BA′与⊙O相切