行列式计算方法小结

主要内容1.定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnjjjjjjjjjNaaa21212121)()1(2.性质5条3.展开定理)(,0)(,2211sisiDAaAaAasninsisi4.几个重要结果||||BABCOAllkllkkk范德蒙行列式P.15例2三角形行列式的值等于对角元之乘积行列式的计算方法小结可从计算方法和行列式特征两个角度总结。1.直接用定义（非零元素很少时可用）2.化三角形行列式法此法特点：(2)灵活性差，死板。(1)程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的字母行列式适用。3.降阶法利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.阶n阶1n阶2此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。一.方法*4.递推公式法(见附录1)*5、数学归纳法(见附录2)*6.加边法（升阶）(见附录3)二、特征.阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算..非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）例),,2,1,0(000000000221112101niaacacacbbbbaDinnnnn11llaciiinnnniiiiaaabbbbbaca0000000000002112110nniiiiaabaca110)(1.“箭形”行列式化成三角形行列式如:练习册P.26(2)题axxxxxaxxxxxaxxxxxx4321432143214321例)1(aaaxxxx00000000043212.除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式13xaaxxxxaxxxxaxxxxxD43243243243211111另aaax001001001000114,3,21illxiib可化箭形行列式如P.20例8例P.4133题abbababaD000000000000n阶按第一列展开abababaa0000000000000n-1阶bababbn0000000)1(1n-1阶nnnba1)1(3.某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降阶法或定义或递推公式法或归纳法4.各行(列)总和相等的行列式(赶鸭子法)例计算行列式(P.18a换为y)xyyyyyxyyyyxDnxyyynxyyxynxyyyynx)1()1()1(),,3,2(1nilli),...,3,2(1nirrixyyyyxyyyynx111])1([yxyxyyyynx0000001])1([1)(1])1([nyxynx1)]()1([nyxynx*或－y乘第1列加到后面各列：yxyxynx0010010001])1([*例如(P.3713(4)，P.3817(3),21,P.3925(2)题如：P.3922题,25(3)题1列(行)“1”的巧妙利用5范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果）).2(n113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVnijjixx1)())(())()((111141312xxxxxxxxxxnn))(())((2212423xxxxxxxxnn))(()(33134xxxxxxnn))((221nnnnxxxx)(1nnxx121323312222112111111nnnnnnnTnxxxxxxxxxxxxV3142281232D将一不含λ的非零元化成零，某行可能会出现公因子，提公因子，可降次。322rr12202812326.部分对角线上含参数的行列式例为何值时,D=0?120281232)1(2)3)(1(.031D时＝或＝即得*附录1.递推公式法特征：某行（列）至多有两个非零元素。方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。qpDDnn11）：形式（212nnnqDpDD）：形式（例112210100000100001nnnaxaaaaxxxD按第一行展开好，还是按第一列展开好？按第一列展开1221100000001nnaxaaaxxxx1000010001)1(10xxann-1阶1101)1()1(nnnaxD01axDn01axDDnn由此得递推公式：因此有：12211100000001nnnaxaaaxxxD01201)(aaxDxaxDDnnn0122axaDxn01232axaaxDxn012233axaaxDxn013322axaaxDxnnn2121221nnnnaxaxaxaxD而D2=?012211axaaxaxxDnnnnnn于是得：解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。例2210000121000012000000210000121000012nD按第一行展开12nD212nnDD按第一列展开210000121000012000000210000120000011由此可得递推公式：212nnnDDD211nnnnDDDD因此有12DD又因为321122D221D故11nnDD则.1nDn递推公式法的步骤：1.降阶，得到递推公式；2.利用高中有关数列的知识，求出行列式。nD技巧！附录2、数学归纳法例证明范德蒙(Vandermonde)行列式).2(n113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVnijjixx1)())(())()((111141312xxxxxxxxxxnn))(())((2212423xxxxxxxxnn))(()(33134xxxxxxnn))((221nnnnxxxx)(1nnxx证明(数学归纳法)时，有当2.1n2111xx12xx，结论成立。立。阶范德蒙行列式结论成假设对于1.2n成立。阶范德蒙行列式结论也下证对n倍，则行的行开始，逐行减去上一中从第在1xnVn)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVnnnnnnnnn按第1列展开)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn)())((11312xxxxxxn223222232232111nnnnnnxxxxxxxxx根据归纳假设有：)())((11312xxxxxxVnnnijjixx2)(nijjixx1)(综上所述，结论成立。)2(n阶1n附录3.加边法（升阶）要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素，将行列式化成三角形行列式。mxxxxmxxxxmxDnnnn212121例用加边法计算mxxxxmxxxxmxxxxnnnn212121210001n+1阶还可用赶鸭子法！将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，...，第n+1行得：mmmxxxDnn001001001121(1)若m=0，则1011nnxDn，，，若0)2(m列：后加到第列都乘以、列、列、中第将11132mnDnn+1阶“箭形”行列式从加边前的Dn得出mmmxxxmxDnniin0000000001211)1()(1niinmxm)()1(11niinnxmm综合练习题2.用多种方法计算下列行列式155164102098474050D(2).1112222bbaababaD(3).(1).111132322332xxxxxxxxxxxxD__,.11121的逆序数为则的逆序数为已知排列iiiaiiinnn3.计算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111设m阶行列式|A|=a,n阶行列式|B|=b,CBA则,00*4.计算行列式,347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf设的根的个数。求方程0)(xf综合练习题解答__,.11121的逆序数为则的逆序数为已知排列iiiaiiinnnann2)1(因此,2)1()()(1121nniiiNiiiNnnn)(2)1()(2111nnniiiNnniiiN因为:对于任何两个数码,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.kjii,如:2)13(321)231()132(NN2.(1)解法一：化成三角形行列式155164102098474050D15516410204050984721rr15516410204050932361214rr解法二：把化成0,再按第三行展开32a45161500217849005441ll解法三：94578215445161578490021005432rr155164102098474050D(2).计算行列式1112222bbaababaD解法一：解法二：112)(2bbaba3)(ba)(ab按第一列展开，各行提3)(ba注意：若按图示法计算不易化简。11020)(,2221312bbababballllD111)(20))(()(0,213223abababababarrarraD111132322332xxxxxxxxxxxxD(3).解法一)(3x)(2x)(x4546254321000100101xxxxxxxxxxxx34)1(x111132322332xxxxxxxxxxxx解法二:用赶鸭子法,提公因子1111111)1(32323232xxxxxxxxxxxx)1()1)(1()1()1(0)1(1)1(0)1()1(101)1(2222223232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2222232111)1)(1)(1(xxxxxxxxxxxxx化三角形行列式或降成二阶3.计算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111设m阶行列式|A|=a,n阶行列式|B|=b,CBA则,00解将第n+1列作n次相邻交换，到第1列，…，将第n+m列作n次相邻交换，到第m列,共作了mn次列交换，得：BACmn00)1(abBAmnmn)1(||||)1(*4.计算行列式,3475